本文格式为Word版，下载可任意编辑数值分析李庆杨版习题及答案 第四版 数值分析习题答案 第一章 绪论习题参考答案 (x*) 1． ε（lnx）≈ x n * r(x*) r(x) 2． * n (x) x *n nx* n 1 (x*) x *n* n (x*) 0.02n* x * * 3． x1有5位有效数字，x2有2位有效数字，x3有4位有效数字，x4有5位有效 *x5数字，有2位有效数字 ****** 4 3 3 3 (x x x) (x) (x) (x) 0.5 10 0.5 10 0.5 10 1.05 101241244． ************ (x1x2x3) x2x3 (x1) x1x3 (x2) x1x2 (x3) 0.214790825 ** x2x21** (*) * (x2) *2 (x4) 8.855668 10 6 x4x4x4 r(R) r5． 6． (V)1 (V)1 r(V) 0.00333333 。
(Y100) 100 111 10 3 10 310022 7． x1 28 55.982， x2 28 1 0.01786 55.982 1 arctgN N1 x228． 1 1 (x) S2 (S) 0.005 29． gt (t)2 (t)0.2 r(S) 12ttgt210． (S) gt (t) 0.1gt，，故t增加时S的 十足误差增加，相对误差减小 1 (y10) 1010 (y0) 108 211． ，计算过程不稳定 12． 6 f 1)6 0.005051， 1.4， 那么f1 1) 0.004096， f2 0.005233f 0.00512543f (3 0.008 ，3，， f5 99 1，f4的结果最好 f(30) 4.094622，开平方时用六位函数表计算所得的误差为13． 10 4中 12 ，分别代入等价公式f1(x) ln(x x2 1),f2(x) ln(x x2 1) 计算 可 得 4 (f1) ln(1 (f2) ln(1 1 (x 60 10 3 10 2 ， 11 10 4 8.33 10 7602。
14． 方程组的真解为 x1 1000000000999999998 1.000000,x2 1.000000 999999999999999999， 而无论用方程一还是方程二代入消元均解得x1 1.00,x2 1.00，结果特别可 靠 sbsinc a asinc b abcosc c a b c tanc c sabsincabc 15． 其次章 插值法习题参考答案 Vn(x) (x xi) i 0n 1 0 j i n 1 1. ； Vn 1(x0,x1, ,xn 1) (xi xj) 0 j i n 1. (x 1)(x 2)(x 1)(x 2)(x 1)(x 1) L2(x) 0 ( 3) 4 (1 1)(1 2)( 1 1)( 1 2)(2 1)(2 1) 2. 537 x2 x 23. 6 3. 线性插值：取x0 0.5,x1 0.6,y0 0.693147,y1 0.510826，那么 ln0.54 L1(0.54) y0 y1 y0 (0.54 x0) 0.620219x1 x0 ； (x i xj) 二次插值：取 x0 0.4,x1 0.5,x2 0.6,y0 0.916291,y1 0.693147,y2 0.510826，那么 ln0.54 L2(0.54) (0.54 x0)(0.54 x2)(0.54 x0)(0.54 x1)(0.54 x1)(0.54 x2) y0 y1 y2 (x0 x1)(x0 x2)(x1 x0)(x1 x2)(x2 x0)(x2 x1) ＝－0.616707 . 1 R1(x) f(x) L1(x) f ( )(x x0)(x x1) 24. ，其中 [x0,x1]. 1 |R1(x)| max|cos (x)| max|(x x0)(x x1)| x0 x x12x0 x x1所以总误差界 (x1 x0)21 11 8 1 1.06 10248 60180 . 2 5. 当 x x0 l2(x) (x x0)(x x1)(x x3) (x2 x0)(x2 x1)(x2 x3) 4 h3 时，取得最大值 10 7x0 x x327 . k f(x) x,(k 0,1, ,n)在x0,x1, ,xn处举行n次拉格朗日插值，那么有 6. i) 对 max|l2(x)| xk Pn(x) Rn(x) 由于f (n 1) lj(x)xkj i 0 n n 1 f(n 1)( )(x x0) (x xn) (n 1)! j k(x)xkj x . k ii) 构造函数g(x) (x t),在x0,x1, ,xn处举行n次拉格朗日插值，有 Ln(x) (xj t)klj(x) i 0 k ( ) 0，故有i 0 l n . g(n 1)( )n (x t) Ln(x) (x xj) (n 1)!j 0插值余项为 ， (n 1) ( ) 0,(k 1,2, ,n).故有 由于 g n (x t) Ln(x) (xj t)klj(x). k i 0 令t x,即得 (x i 0 n j t)klj(x) 0 . 7. 以a, b两点为插值节点作f(x)的一次插值多项式 f(b) f(a) L1(x) f(a) (x a) b a， 1 f(x) L1(x) f ( )(x a)(x b), [a,b] 2据余项定理，， 由于f(a) f(b) 0,故 |f(x) L1(x)| |f(x)| 11 max|f (x)|max|(x a)(x b)| (b a)2max|f (x)|. a x ba x b2a x b8 8. 截断误差 R2(x) 1 e(x x0)(x x1)(x x2), [ 4,4].6 x x1 hx x h,x x h,1213时取得最大值 其中 0 那么 2 max|(x x0)(x x1)(x x2)| 3 h3 4 x 49 . 由题意， 所以，h 0.006. n 1n2n 2n 1n 1nn y 2 2, y (2 2) (2 2) 2, 那么可得 nn9. 4yn 2( 2yn) 2n. |R2(x)| 142 e ( h3) 10 6,69 yn 2n 1/2 2n 1/2， 2yn (2n 1 2n) (2n 2n 1) 2n 1，那么可得 10. 数学归纳法证 当k 1时， f(x) f(x h) f(x)为m－1次多项式； k 假设 f(x)(0 k m)是m-k 次多项式，设为g(x)，那么 k 1f(x) g(x h) g(x)为m-(k+1)次多项式，得证。
4yn 2( 2yn) 2n 2. 11. 右 fk(gk 1 gk) gk 1(fk 1 fk) fk 1gk 1 fkgk 左 12. f k 0 n 1 k gk f0g1 f0g0 f1g2 f1g1 fn 1gn fn 1gn 1, fk f1g1 f0g1 f2g2 f1g2 fngn fn 1gn. 2 j g k 0 n 1 k 1 13. (y2 y1) (y1 y0) (y3 y2) (y2 y1) (yn 1 yn) (yn yn 1) (yn 1 yn) (y1 y0) yn y0 . j 0 y n 1 14. 由于x1,x2, ,xn是f(x)的n个互异的零点，所以 f(x) a0(x x1)(x x2) (x xn) a0 (x xi) a0(x xj) (x xi), i 1 i 1i j n n 对f(x)求导得 n n f (x) a0 (x xi) (x xj)( (x xi)) i 0 i 1 i j i j ， f (xj) a0 (xj xi) n 那么 i 1 i j ， j 1 n 1 f (xj)a0 xkj j 1 n xkj (x i 1 i j n xi) j 0,0 k n 2,(n 1) g(x) k g(x) x, (n 1)!,k n 1. 记k那么 由以上两式得 j 1 n 1 f (xj)a0 xkj j 1 n gk(xj) (x i 1 i j n j xi) 1 gk[x1,x2, ,xn]a0 ( ) 0,0 k n 2,1gk 1 a0(n 1)! a0,k n 1. 。