向量法在中学数学解题中的应用(定稿)

编号:09005110119南阳师范学院 2013 届毕业生毕业论文（设计）题 目: 向量法在中学数学解题中的应用 完 成 人: 殷莉莉 班 级: 2009-01 班 学 制: 4 年 专 业: 数学与应用数学 指导教师: 王 阳 完成日期: 2013-04-11 目 录摘 要.....................................................................................................................................................................10 引言.....................................................................................................................................................................11 有关定义及定理..........................................................................................................................................12 向量法在中学数学解题中的应用.....................................................................................................32.1 向量法在中学代数题中的应用..............................................................................................................32.1.1 在代数证明题中的应用....................................................................................................................32.1.2 在代数计算题中的应用....................................................................................................................52.2 向量法在几何题中的应用.......................................................................................................................72.2.1 在平行题中的应用.............................................................................................................................72.2.2 在垂直题中的应用.............................................................................................................................82.2.3 在夹角题中的应用.............................................................................................................................92.2.4 在距离题中的应用...........................................................................................................................11参考文献..............................................................................................................................................................12Abstract.................................................................................................................................................................12第 0 页 （共 13 页）向量法在中学数学解题中的应用作 者:殷莉莉 指导教师:王 阳摘 要:归纳总结了向量运算的有关性质,运用向量的数量积、向量积、以及模长不等式等性质,结合实例探究了向量法在代数中的证明题、计算题,几何中的平行题、垂直题、夹角题、距离等题中的具体应用,通过对比传统解法和向量解法,揭示了向量法解题的规律,体现了向量法解题的优势.关键词:向量;数量积;向量积0 引言向量是既有大小又有方向的量,是研究代数、几何问题的共同工具,向量不仅具有数的性质,还同时兼有形的性质,因此通过向量不但可以将代数问题几何化,同时还可以几何问题代数化.向量被引入中学数学教材后,丰富和发展了中学数学知识结构体系,拓展了中学数学的思维空间.关于向量法在中学数学解题中的应用,文献[1-10]已经进行了初步研究.其中文献[1-3]探究了向量法在解代数题中的应用;文献[4]研究了向量法在解决距离问题方面的应用;文献[5]处理了向量法解垂直问题;文献[6]探讨了用向量法解决角度问题;文献[7-9]研究了向量法在解决平行问题中的应用;文献[10]给出了向量的有关概念和运算性质以及向量在几何中的简单应用.这些文献具有一定的指导意义,但多为单纯的解题,缺少分析过程,不够全面.本文首先归纳了向量运算的有关性质定理,然后以向量的数量积、向量积和模长不等式等性质为依据,结合实例探究了向量法在解代数中的证明题、计算题,几何中的平行题、垂直题、夹角题、距离题等题中的具体应用,通过分析比较,体现了向量法解题的优越性.1 有关定义及定理下面给出本文涉及到的与向量有关的基本定义和部分定理:定义 l[10] 既有大小又有方向的量叫向量,或称矢量,简称矢.第 1 页 （共 13 页）定义 2[10] 向量的大小叫做向量的模,也称为向量的长度.向量与 的ABuuu rar模分别记做与.ABuuu rar定义 3[10] 两个向量 和 的模和它们的夹角的余弦值的乘积叫做向量arbr和 的数量积（也称为内积）,记做或,即arbra br rabrr.cos( , )a ba ba br rr rr r定义 4[10] 两个向量 和 的向量积（也称外积）是一个向量,记做arbr或,它的模是a brrabrr,sin( , )a ba ba brrr rr r它的方向与 和 都垂直,并且按 , ,这个顺序构成右手标架.arbrarbra brr定义 5[10] 给定空间的三个向量 , , ,如果先做前两个向量 与 的向arbrcrarbr量积,再作所得向量与第三个向量 数量积,最后得到的这个数叫做三向量 ,crar, 的混合积,记做或或.brcr()a bcrrr( , , )a b cr r r()abcrrr定理 1[10] 设,,那么.111axiy jz kr222bx iy jz kr12121 2a bx xy yz zr r定理 2[10] 设,那么.axiyjzkr2222aaxyzr定理 3[10] 设 是直线 上的一个单位方向向量,线段在 上的投影erLABL是,则有.11AB11ABAB euuu r r定理 4[10] 设空间两个非零向量和,那么它们的111,,ax y zr222,,bxyzr夹角余弦是:.12121 2222222 111222cos( , )x xy yz za ba b a bxyzxyz r rr r r r推论 1[10] 空间中两向量与相互垂直的充要条件是111( ,,)a x y zr222(,,)b xyzr.12121 20x xy yz z定理 5[10] 空间任意两个向量 和 成立不等式:arbr.a ba br rr r推论 2[10] 空间任意两个向量 和 成立不等式:arbr.a ba br rr r推论 3[10] 空间任意两个向量 和 成立不等式:arbr第 2 页 （共 13 页）.222a babr rrr定理 6[10] 对空间任意两个向量,则的充要条件是存在实(0)ab b rr rr和/ /abrr数 使.此定理也称作共线向量定理.=abrr定理 7[10] 存在唯一实数组,使得(不共线)满足,, , ,a b cr r r, b cr rabcrrr则共面., ,a b cr r r定理 8[10] 向量加法满足下列运算规律（1） 交换律+ = +a b b ar r r r（2） 结合律++ =a bc abcr rr rrr（3）  0aa rrr定理 9[10] 数量与向量的乘法满足下列运算规律（1） 1aarr（2） 结合律 aa rr（3） 第一分配率aaarrr（4） 第二分配率=+ababrrrr2 向量法在中学数学解题中的应用2.1 向量法在中学代数题中的应用在中学数学中,某些代数题用传统方法去解,是很复杂的,不仅需要大量的计算,还需要很强的技巧,很多同学做起来经常会找不到思路,而向量运算具有良好的性质,很大一部分题型都同向量模与向量积的坐标表达形式近似,因此构造向量可以使我们轻松地解决问题.2.1.1 在代数证明题中的应用例 1 已知,,求证:.2228abc2222xyz4axbycz分析 传统的做法是利用球的参数坐标,即设出以及,然后分别, ,a b c, ,x y z代入式子放缩化简可证得,但代入之后式子变得很复杂,进一步化axbycz简的计算量非常大,且技巧性很强.观察已知条件和结论发现出现平方和及相应积之和,因此联想到向量的模与向量的数量积.构造向量和, ,pa b cu r第 3 页 （共 13 页）,利用不等式,即定理 5,化简即可证明., ,qx y zrp qp qu r ru r r证明 构造向量,,, ,pa b cu r, ,qx y zr则向量模的定义知,2222 2pabcu r.2222qxyzr根据定义 3 可得数量积,, ,, ,p qa b cx y zaxbyczu r r故根据定理 5 得,2 224axbyczp qp qu r ru r r命题得证.例 2 已。