二次函数铅垂高如图12-1,过AABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，夕卜侧两条 直线之间的距离叫AABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ ABC内部线段的长 度叫AABC的“铅垂高(h)” •我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S = 1 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.AABC 2解答下列问题：如图12-2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.(1) 求抛物线和直线AB的解析式；(2) 点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA, PB,当P点运动到顶点C时，求ACAB的铅垂高CD及S ;ACAB例1解：(1)设抛物线的解析式为：y二a(x-1)2 + 4 1分1把A (3,0)代入解析式求得a = -1所以 y =-(X — 1)2 + 4 二一x2 + 2x + 3 3 分1设直线AB的解析式为：y二kx + b2由yi - -x2 + 2x + 3求得B点的坐标为(3) 4分把 A(3,0), B(0,3)代入 y 二 kx + b 中2解得：k = 一1, b = 3所以y =— x + 3 6分2(2)因为C点坐标为(1,4)所以当x=l时，y】 = 4, y2 = 2所以 CD=4-2 = 2 8 分SACAB=2 x 3 X 2 = 3 (平方单位)10分⑶假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,APAB的铅垂高为h.贝I」h = y — y = (—x 2 + 2x + 3) — (—x + 3) = —x 2 + 3x 12 分129由 S = 9 S△PAB 8 △CAB19彳得：一x 3 x (—x2 + 3x) = x 32 8化简得：4x 2 —12x + 9 = 03解得，x =-23将x = 2代入歹］二—x2 + 2x + 3中,3 1514分解得P点坐标为(-,—)••••总结：求不规贝三角形面积时不妨利用铅垂高。
铅垂高的表示方法是解决问题的关键,要学 会用坐标表示线段例 2(2010 广东省中考拟)如图 10, 在平面直角坐标系中, 二次函数y二ax2 + bx + c(a > 0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧，B点的坐标为(3, 0), OB = OC ,tan/ACO= 1 .3(1) 求这个二次函数的表达式．(2) 经过C、D两点的直线，与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F, 使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若 不存在,请说明理由．(3) 若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相 切,求该圆半径的长度．(4) 如图11,若点G (2, y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上 一动点，当点P运动到什么位置时,AAPG的面积最大？求出此时P点的坐标和AAPG1）方法一：由已知得：c （0,—3）, A （ — 1, 0）a - b + c = 0< 9a + 3b + c = 0c = —3将A、B、C三点的坐标代入得3a = 1< b = —2c = —3解得：lc 3所以这个二次函数的表达式为： y=x2 —2x—3方法二：由已知得：C （0,—3）, A （ —1，0）设该表达式为：y = a（x + D（x — 3）将C点的坐标代入得：a = 1所以这个二次函数的表达式为： y=x2 —2x—3（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F点的坐标为（2,—3）理由：易得D （1,—4）,所以直线CD的解析式为：y = — x — 3•••E点的坐标为（一3, 0）由 A、C、E、F 四点的坐标得：AE = CF = 2, AE//CF以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形•••存在点F,坐标为（2,—3）方法二：易得D （1,—4）,所以直线CD的解析式为：y = — x — 3•E 点的坐标为（—3，0）•.•以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形•F点的坐标为（2,—3）或（一2, —3）或（一4, 3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，—3）符合•••存在点F,坐标为(2,—3)⑶如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R (R>0),R 二 UZ代入抛物线的表达式，解得 2②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r (r>0).则 N(r+1，—r)，-1 +、1r = 代入抛物线的表达式，解得 2RDR)，(R1+ J17 -1 + v17•••圆的半径为 2 或(4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,易得 G(2，—3)，直线 AG 为 y = ~x-1设 P (x，x2 — 2x — 3 )，则 Q (x，—x—1)，PQ = — x2 + x + 2 .S = S + S = 1(—x 2 + x + 2) x 3AAPG AAPQ AGPQ 21x =—5 —15、此时P点的坐标为(2 4丿,27SAAPG的最大值为瓦当 2时，AAPG的面积最大随堂练习1. (2010江苏无锡)如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(-4, 0) 和(2, 0), BC= 2石.设直线AC与直线x=4交于点E.(1) 求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛 物线一定过点 E；(2) 设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为N, M是该抛物线上位于C、N之间 的一动点，求ACMN面积的最大值.【答案】解：(1)点c的坐标(2,2、沁•设抛物线的函数关系式为y = a(x - 4)2 + m ,16a + m = 04a + m = 2 3a ——，解得 636•••所求抛物线的函数关系式为(x — 4) 2 +3k — , b —，解得 34733x) +7 3 x 一 8 s'' 3 — — -— x 2 + 5 弋 3 x 一 87 3 3 2(x — 5)2 +=2I—4k + b — 0 设直线AC的函数关系式为y = k + b，则〔2k + b = M3<3 4\；‘3 8朽、y — x + (4, —)•••直线AC的函数关系式为 3 3 ,•••点E的坐标为 3—73 (4 4)2丄屈—屈——(4 — 4)2 + —把x=4代入①式，得 6 3 3 ，•此抛物线过E点.(2) (1)中抛物线与x轴的另一个交点为N (8, 0),设M (x, y),过M作MG丄x轴于 G,则 SACMN=SAMNG+S 梯形 MGBC—SA1(8 — x )gy +CBN= 21 (y + 273)(x — 2)—丄 x (8 — 2) x 2^ 32 23 4 7’33 y +、' 3 x 一 8 s'3 — 3( 一 x 2 +69\''3当x=5时，SACMN有最大值2课下练习1.(本题满分12分)已知：如图一次函数y= * x+1的图象与x轴交于点A,与 y轴交于点B；二次函数丫= 1 x2+bx+c的图象与一次函数y= 2 x+1的图象交于B、C 两点，与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；⑵求四边形BDEC的面积S；(3)在x轴上是否存在点P,使得△ PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 所有的点P,若不存在，请说明理由.3. (2010山东临沂)如图，二次函数y二x2 + ax + b的图象与x轴交于",B(2,0)两点第且题图由交于点C -(1) 求该抛物线的解析式，并判断AABC的形状；(2) 在x轴上方的抛物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；(3) 在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由.第26题图_ 1【答案】解：根据题意，将A ( 2,0) ,B (2,0)代入y=-x2+ax+b中,1 1一一一一a + b = 0,< 4 2得 -4 + 2a + b — 0.3a ——,< 2解这个方程，得仏二1-全品中考网3 所以抛物线的解析式为y=-x2+ 2 x+1. 当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0, 1） 百所以在△ AOC 中，AC八' OA2 + OC2 = 2 .在△BOC 中，BC八 OB2 + °C2 八''5 .AB=OA+OB=2 21 25-+ 2 = — = AB 2因为 AC2+BC2= 4 4所以△ ABC是直角三角形。
11,1【（2）点D的坐标是（3）存在由（1）知，AC丄BC,若以BC为底边，则BC//AP,如图⑴所示，可求 得直线BC的解析式为直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设y — ——x + b直线AP的解析式为 2 ，—- —-将A （ 2 ,0）代入直线AP的解析式求得b= 4,图111y — — — x ——所以直线AP的解析式为 2 4因为点 P 既在抛物线上， 又在直线 AP 上， 所以点 P 的纵坐标相等， 即不合题意，舍去）.2（本题10分）如图，已知二次函数丫=的图象与y轴交于点A，与x轴-x2+ 2 x+1 =5x = x 解得1 2 25 _ 3当 x= 2 时，y= 2 .5 _ 3所以点P的坐标为（2, 2）.②若以AC为底边，则BP//AC，如图⑵ 所示， 可求得直线AC的解析式为y = 2 x +1直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设 直线BP的解析式为y = 2x + b，将B （2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直 线BP的解析式为y=2x-4.因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P3的纵坐标相等，即-x2+ 2 x+1=2x-4x = _ —, x = 2 解得1 2 2 （不合题意，舍去）.5当 x=- 2 时，y=_9.5所以点P的坐标为（-2，-9）.5 _ 3 5综上所述，满足题目的点P的坐标为（2， 2 ）或（-2，-9）交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC.（1） 点A的坐标为 ，点C的坐标为 ；（2） 线段AC 上是否存在点E，使得AEDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件 的点E的坐标；若不存在，请说明理由；⑶点P为X轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC,若所得APAC的面积为S,•解：⑴A （0,4），C（8，0）．2分（2）易得D3,0),CD=5．设直线AC对应的函数关系式为y = kx + b ,则 Jb=4,k=-8。