1本次课主要内容本次课主要内容贝塞尔函数的应用贝塞尔函数的应用(二二)、贝塞尔函数的应用、贝塞尔函数的应用(一一)、贝塞尔函数的正交性、贝塞尔函数的正交性 2回顾：回顾：1、贝塞尔函数的递推公式、贝塞尔函数的递推公式 3 2、贝塞尔函数的零点、贝塞尔函数的零点 关于贝塞尔函数的零点，有如下结论：关于贝塞尔函数的零点，有如下结论：(1)、、J n (x)有无穷多个单重零点，且在有无穷多个单重零点，且在x轴上关于原轴上关于原点对称；点对称；(3)、若设贝塞尔函数、若设贝塞尔函数J n (x)的第的第m个正零点为：个正零点为： 则：则：(2)、、J n (x)与与Jn+1(x)的零点彼此相间分布；的零点彼此相间分布；说明说明J n (x)几乎是一个几乎是一个2Π周期函数周期函数.注：注：贝贝塞塞尔尔函数零点可以函数零点可以查查表表获获取 4(一一)、贝塞尔函数的正交性、贝塞尔函数的正交性1、贝塞尔函数的正交性定理、贝塞尔函数的正交性定理正交性定理：正交性定理：n阶贝塞尔函数系阶贝塞尔函数系具有正交性，即：具有正交性，即：证明：令：证明：令： 5考虑考虑n阶贝塞尔方程：阶贝塞尔方程：则如下等式成立：则如下等式成立： 6两式分别乘以两式分别乘以F2和和F1后相减，并对后相减，并对r从从0到到R积分积分后得：后得：在在*上式中，取：上式中，取：则：则：所以：所以： 7下面计算下面计算当当 时，由时，由*得：得：在在**中，令：中，令： 8由于由于所以所以**化为：化为：当当 时，由洛比达法则得：时，由洛比达法则得： 9又由递推公式又由递推公式和和 得：得：所以得到：所以得到：由此证明了正交性定理。
由此证明了正交性定理 10定义：定积分：定义：定积分： 的平方根的平方根 称为贝塞尔称为贝塞尔函数函数 的模2、贝塞尔级数展开定理、贝塞尔级数展开定理定理：设定理：设 在区间在区间[0,R]上至多有有限个跳跃间上至多有有限个跳跃间断点，则断点，则f(x)在在(0,R)连续点处的贝塞尔级数收敛于该点的连续点处的贝塞尔级数收敛于该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值 11例例5、设、设w n (n=1,2,…)为零阶贝塞尔函数的所有正根为零阶贝塞尔函数的所有正根.将将函数函数f (x)=1-x2(0