翻杯子不能翻成功一个杯口朝上的杯子，要翻成杯口朝下，要翻动1 次、 3次、5 次⋯⋯即奇数次这样，根据奇、偶数的性质， 可以发现： 当杯子总数 N为奇数而每次翻动的个数M为偶数时， 无论翻几次， 都不能成功因为需翻动杯子的总次数为奇数（奇数个奇数的和为奇数），而实际翻动总次数一定为偶数，显然奇数≠偶数，所以不能成功除此之外的其它情况都能翻成功，即：（杯子总数为 N、每次翻动的个数为M）① N 为奇数、 M为偶数时，无法翻成功 ;② N 为奇数、 M为奇数时，且需翻动奇数次;(N<2M，为 3次 )③ N 为偶数、 M为奇数时，且需翻动偶数次;(N<2M，为 4次 )④ N 为偶数、 M为偶数时，且翻动奇、偶次均可N<2M，为 3 次 )最少需翻几次，怎样翻？解题步骤：①能不能翻成功 ②能成功，翻几次1、当 N=M倍，需翻 N÷ M次例 1、 8 个杯口全部向上的杯子，每次将其中 4 个同时翻转，几次翻转杯口能全部向下 ?解：① ∵ N 与 M同为偶数；∴能翻成功② 翻 2 次（ =8÷ 4）通常，考题中的 N是不能被 M整除的，也就是说，在翻的过程中肯定有些杯子是需要重复翻的，这时，翻成功的次数必≥ 3 次，具体最少是几次，取决于第一次翻动之后，剩余杯子数 (N-M) 和每次翻动杯子数 M之间的关系。
① N=M+1；② N>2M；③ N<2M2、当 N=M+1时，需翻次数 =杯子总数 =N次 （轮翻）例 1、有 8 个杯口全部向上的杯子，每次将其中7 个同时翻转，几次翻转杯口能全部向下?解：① ∵ N 为偶数， M为奇数；∴ ( 偶数次 ) 能翻成功②翻 8 次（轮翻，次数 =N）具体操作如下： ( ○表示杯口朝上，●表示杯口朝下)○○○○○○○○第 1 次●●●●●●●○第 2 次○○○○○○●●第 3 次●●●●●○○○第 4 次○○○○●●●●第 5 次●●●○○○○○第 6次○○●●●●●●第 7 次●○○○○○○○第 8次●●●●●●●●（第1 次第1 个不翻，第2 次第2 个不翻，每3 次第3 个不翻第8 次第8 个不翻）结论：通过上图发现，每两次就能翻成两个，所以 8 个杯子每次翻 7 个需 8 次翻成功，共翻了 56次，每个杯子翻了 7 次事实上， 每当重复翻动一个杯子， 即将已翻成杯口朝下的杯子先翻回杯口朝上，下次再翻成杯口朝下，这个过程实际上是将一个杯子多翻了两次，假设不重复翻的话，相当于在原杯子总数 N 的基础上另外增加了两个杯子，即有 (N+2) 个杯子。
同理，若需要重复翻动 a 个杯子就可看做共有 (N+2a) 个杯子需要翻动显然， 8 个杯子，每次须翻动 7 个，那么第二次翻动时一定有 6 个杯子被重复翻动，可看成每次增加 2×6=12 个杯子，则翻动次数为 (8+12×4) ÷7=8 ( 次 ) ，8+12×4=5 6 表示总次数，还可知每个杯子均被翻 56÷8=7 次2、当 N>2M例 2：有 13 个杯口全部向上的杯子，每次将其中5 个同时翻转，几次翻转杯口全部向下?解：① ∵ N 为奇数， M为奇数；∴能翻成功② 需翻动奇数次（13 个奇数之和是奇数 =5×翻动次数，翻动次数存在且必为奇数）具体操作如下： ( ○表示杯口朝上，●表示杯口朝下)○○○○○○○○○○○○○第 1 次●●●●●○○○○○○○○ （剩下的是偶数，先翻一个，再由左边补足）第 2 次●●●●○●●●●○○○○第 3 次●●●●●●●●●●●●●（当剩下的杯子数是小于2M的偶数时，先翻动它的一半，再由左边的补足）例 3：有 12 个杯口全部向上的杯子，每次将其中5 个同时翻转，几次翻转杯口全部向下?解：① ∵ N 为奇数， M为偶数；∴能翻成功②需翻动偶数次（ 12 个奇数之和是偶数 =5×翻动次数，翻动次数存在且必为偶数）具体操作如下： ( ○表示杯口朝上，●表示杯口朝下)○○○○○○○○○ ○○○第 1 次●●●●●○○○○○○○ （剩下的是奇数，先翻一个，再由左边补足）第 2 次○○○○●●○○○○○○ （剩下的是偶数，先翻一个，再由左边补足）第 3 次●●●●●●●○○○○○第 4 次●●●●●●●●●●●●（当剩下的杯子数是小于2M的奇数时，先翻动它的一个，再由左边补足，变为乘下偶数）3、当N<2M(1) 若 N与M同偶或同奇，需3 次。
(2) 若 N 是偶数，M是奇数，需4 次例 4：有8 个杯口全部向上的杯子，每次将其中5 个同时翻转，几次翻转杯口能全部向下?解：① ∵ N 为偶数， M为奇数；∴能翻成功② 需翻动偶数次（ 8 个奇数之和是偶数 =5×翻动次数，翻动次数存在且必为偶数）具体操作如下： ( ○表示杯口朝上，●表示杯口朝下 ) ○○○○○○○○第 1 次 ●●●●●○○○ （剩下的是奇数，先翻一个，再由左边补足）第 2 次 ●○○○○●○○ （剩下的是偶数，先翻一个，再由左边补足）第 3 次 ○●●●○○○○第 4 次 ●●●●●●●●第 第。