平面向量中的最值、范围问题一、 考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其基 本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解 决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所 以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.二、 经验分享1. 利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题，即只需将问题转化为向量形式，用向 量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系，用向量的坐标运算往往更为简捷・1.平面向量线性运算 问题的常见类型及解题策略2. 几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运 算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解 决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解（较 易）；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解（较难）；③建系,借助向量的坐标运算,此法对 解含垂直关系的问题往往有很好效果.3. 坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常 要借助于直角坐标系.对于某些平面向量问题，若能建立适当的直角坐标系，可以使图形中复杂的几何 关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程，有效地降低思维量，起到事半功倍的效果.上面两题都是通 过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性.三、 知识拓展1. -#|阳| 则a'b=x x +y y ；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.2 2 12 12【例1】在边长为2的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则EB • ED的取值范围为 【分析】利用向量的加法或减法法则，将向量EB, ED分别表示，结合已知条件设| A | = x （ 0 < x < 2 ）,将EB • ED用变量x表示，进而转化为二次函数的值域问题.［解析】由题意得，衣与而的夹角是60°, P是Q的中点，设|衣| =互，・・・EB ED =（而-丽（而-丽=而而-顷+而衣+成「=2|左「一3芬-衣+|衣由于E为线段AC1一动点『故0 0 ,解得 < b < 2 ,故2 < BA • BC < 27 一 9、'5（二）平面向量模的取值范围问题设a =（x, y），则a ="=』x 2 + y2 ,向量的模可以利用坐标表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意，如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再 求.【例2】已知向量a,b, c满足a = 4, b = 2J2, a与b的夹角为号，(c - a) - (c - b) = —1,则c —a的最 大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点(向量)，确定变量满足的等式和目标函数的 解析式,结合平面几何知识求最值或范围.【解析】设OA = a, OB = b, OC = c ；以OA所在直线为x,O为坐标原点建立平面直角坐标系，a =4, b=2J2, a 与b 的夹角为 ^4,则 A (4,0) ,B (2,2)，设 C (x,y )• (c — a) - (c — b) = —1, 一x2+y 2-6x-2y+9=0,即(x-3) 2+ (y-1) 2=1表示以(3,1)为圆心，以1为半径的圆，c-a|表示点A,C的距离即圆上的点与点A (4,0)的距离；圆心到 B 的距离为(3 — 4)2 +(1 -0)2 =、_ 2 ,・.・da|的最大值为扼+1.【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标，正确找到变量间的关系，以及目 标函数代表的几何意义是解题关键.【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA和OB满足|OA| = a,OB| = b，且 a2 + b2 = 1, OA - OB = 0，若向量 OC = XOA +^OB (人,目e R)，且(2 人一1》a 2 +(2 ^ —1)2 b 2 = 4,则 |OC| 的最大值为 . 一 「 —3 一 一 一【答案】-OD = -（OA + OB ）,2 ,:.DC = OC - OD乙1 \人--OA +k 2（1 \P-- OB，由k 2 7【解析】9 因为 OA = a, OB =饥且 a 2 + b 2 = 1, OA - OB = 0,, AB =1, OA1 OB,如图，取 AB 中点 D，则... DC2 =2a 2 + ^-—设a =(气,七),b = (%%),且a，b的夹角为0，则*e =（2X-1）2 a 2 +（2p -1）2 b 2 = 4 可得 MI皿+卜21b2=12b2 = 1, DC = 1,.・.C在以D为圆心，1为半径的圆上，当八-_ _ 一一 _ 3 ….3O, C, D共线时OC最大，/. OC的最大值为OD +1 = 3，故答案为.(三) 平面向量夹角的取值范围问题a • b x x + > > = 1 2 ]■2 + > 2 • 1 1【例3】已知向量oA与OB的夹角为0, (OA = 2, OB = 1,OP= tOA，(OQ = (1 -1)OB，PQ在九时取得最小值，当0 ＜七＜ 5时，夹角0的取值范围为.【分析】将|PQ|表示为变量t的二次函数pQ| = (5 + 4cos0)t2 + (-2 - 4cos0)t +1,转化为求二次函数的最 小值问题，当10 = I：：/ 时，取最小值,由已知条件0 ＜七＜ 5,得关于夹角0的不等式,解不等式得解.【解析】由题意知】妇色巨=db—莅所以,我’=(1 ―尔而1十？1赤2 — 2氏1 T)汤.品=(1一甘十4? — 4X1 T)co舟=(S + 4cos6)/2 + (-2 - 4cos SX +1 数的图像及其性质知为上式取最小值时土」*""-由题5 + 4cos3意可得牛1十28七二求得_上=2皿刷以丑品〈奖一5 + 4cos0 5 2 2 i【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解.【小试牛刀】已知非零向量a,b满足〔a，2|b| ,若函数f⑴=1 x3 +1 \^x2 + abx +1在R上存在极值,则a和b夹角的取值范围为 —► —►—► —► —► —► ―►J (^ ］【答案】-,兀 13 -—► —►【解析】f' (x ) =x2 + lalx + a - b，设a和b夹角为0，因为f(x)有极值，所以A = laI2- 4a • b > 0，即-4 a • b • cos0 > 0 即 cos0 —所以 0 g2 (四) 平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式 得系数的不等式，从而求系数的取值范围.… f Y 丁 【例4】已知a = VX ,2), b = 1- 3,5),且a与b的夹角为锐角，则人的取值范围是 •【分析】。
与b的夹角为锐角等价于a •b > 0，且a与b不共线同向,所以由a •b > 0，得10，再除去a与 fb共线同向的情形.^■1 MH MB【解析】由于a与b的夹角为锐角，a • b > 0，且a与b不共线同向，由a • b > 0 n-3人+10 > 0,解得 人< 10，当向量a与b共线时，得5人=-6，得X = - 6，因此人的取值范围是X< 10且人6 •【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别，向量夹角的范围是［0,兀］，而三角形内角范围是(0,兀)，向量夹 角是锐角，则cos0 > 0,且cos0丰1，而三角形内角为锐角，则cos0 > 0, •2兀【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图，在AABC中，AB = AC = 1,ZBAC ==-.(1)求AB • BC的值；(2)设点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧BC上运动，且AP = xAB + yAC，其中x, y g R .求xy的取值范"【解析】(1) AB - BC = AB •(AC - AB ) = AB - AC -1 AB |2= -1 -1 = — 3(-|，丰 1\» ——y2 2(2)建立如图所示的平面直角坐标，则B (1,0 ), C设 P (cos0, sino),0 el 0,-^ I,由 AP =xAB + yAC,得(cos。
sin 0)= x (1,0 )+ y—；,季 j .所以 cos0^ x — -，sin 0 =乎 y.(匕 匕 J 匕 匕所以 x = cos 豆sin0, y =癸3 sin0 .3 3xy = sin0 cos0 + — sin20 =— sin20 +-= — sin3 3 3 3 3因为0e 0寻所以，当20 - z = 7时，即0 = 3时，xy的最大值为1;6 2 3一 兀 兀 兀 7兀 2兀 -当20 -— = - 6或20 - 6 = ~^即0 = 0或0 = ~^时，xy的最小值为0・旨旗五、迁移运用1.【江苏省常州2018届高三上学期期末】在AABC中，AB = 5, AC = 7, BC = 3, P为AABC内一点 (含边界)，若满足BP = 4 BA +人BC (Xe R)，则BA • BP的取值范围为【答案】写］_ 52 + 32 - 72 1【解析】由余弦定理，得cosB = Kk =--,因为P为AABC内一点(含边界)，且满足一 3"(1 1e0,—，则 BA • BP = 。