7.3湍流的动能平衡众所周知，湍流的瞬时速度匕也可看成是时间平均速度V与叠加脉动速度叶的和因 此，平均速度场的动能不同于瞬时动能的平均值，而后者包含脉动动能的时间平均值：pV 2 V 2 V‘2寸=p V +p~2 . (7.20)」 」 」动能不满足守恒定律，因此湍流动能的平衡不是守恒定律公理，它只能由动量平衡方程 衍化而成很明显，从实用的观点上看，许多重要的方程都是p V2...・2项的平衡式然而， p v;；2和p v2,2的平衡等式也会对湍流的属性提供很有价值的信息动量平衡推导为了得出湍流总动能的平衡等式，把动量方程乘上时间平均后的速度匕用这种方法 我们可以得到：d , ；— ； ；~—■(V + V )一[ p (V + V )] + (V + V ) p{[(V + V ) O (V + V )]V}=所=pg（V + 讨）-（V + 讨）[V（p + p'）] + 日（积 + 讨）{[（积 + 讨）O V +V O （V + 讨）]V} . （7.21）逐项了解各项求平均值过程对于左边第一项：(V + V)£[p(V + V，)] = £[p V2] + £[p 号' .5 5 k 2 J (y t * 2 J与V '成线性关系的项消失了。
左边第二项(对流项)求平均值也是这种情况因此该 项可以分解为下面各项的和：pV[(V O V)] + p V'[(V o V)V] + p V[(V ' O V)V] + pv[(V ' O V)V] ++ p V [（V O V' ）V] + p V'[（V O 讨）V] + p V [顷 O 讨）V] + p V'[（V' O V'）V].稍加变换并考虑div V，= 0，得出的平均值结果为:pV[（VoV）V] = Vgrad p= = div p — v ；p V'[（VV）V] = Vgrad p=div pp v '[（V O V，）V] = p v T（V，V）V] = p V，O V，: VO V ；pV[（v o V' ）V] = div[p（V‘ o V）V] = p V' o v，: V o V ；方程右边第一项很明显为:pg (V + V') = pgv ,而对于右边第二项我们有：(v + v f)[V( p + p，)] = v (Vp) + V'(Vp) + v (Vp，) ++ v，(Vp') = div(pv) + div(p'V) — pdivV — p'div vr.与脉动成线性关系的项消失了，因为流体的不可压缩性最后两项也等于零。
最后，方程右边的最后一项(粘度项)的平均值也能求出求平均值前先做以下修改:-(V + V )[(VV + VV + V’V + Vv ')V]==div(2-Sv) — 2-S: vV + div(2-S’讨)—2-S’: vV.既然S和，1 ， ，S'= (V’V + VV)2都是对称二阶张量，它们由导数张量VV和V'V表示的积可以用S : S 和S':S'代 过界面）迁移导数的两个分量损耗函数包括两部分：一项是与平均流量有关的损耗函数， 另一项是由于湍流速度脉动衰减引起的不可逆内能转化把所有的项代入等式(7.21)，我们得到总动能方程:'v 2 伊 2 ']P 万 +PTjv2 V V+ div p — v + p——v + p2 2v' 2V’=Pgv — div(pv + p'V') + div[2-SV + 2-S’ vr — p(vrvr)V]——2-S:S — 2 -S’：S’.(7.22)对于封闭在任意有限体积为V、边界面积为(A )的流体质量的湍流，以相似的方法用 Gauss理论得出总动能方程：fp vi [dV + jgp vi vdA + M l 2 7 …8t 2 8t(A) VdV+ j—p一VdA + j—p一 V 'dA + j 2 -S:dV + 8t 2 8t 2(A) (A) V+ j 2-S’ ： S’dV = j pgVdV — j pVdA — j pv'dA +V V (A) (A)j 2 -SVdA + j 2 -S’V'dA + j (-pV’ °V’)VdA .(A) (A) (A)(7.23)这个方程表明总动能的变化率包括以下五项：平均速度动能的本地导数和迁移导数； 脉动平均动能的本地导数；后者(这依赖于它作为平均速度或脉动的函数是否有一些质点通湍流的速度脉动从一点到另一点强度大且无规律；它们的导数张量比平均速度场的导 数张量大得多，特别是在远离边界区。
因此，与湍流损耗函数尘t相比，粘度损耗函数①可 以忽略掉：①二t动能平衡方程的各项代表了外力所做的功很明显，由于压力波动做功，提高了湍流的能量转化其它项代表了粘性力所做的功，。