湖南黎国之数学教育文存1 代入法是代数学的一个根本方法湖南宁乡一中黎国之一、代入法是对代数学的最好诠释 代数是由算术演变来的，在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解 法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，终于出现了用字母代替具体数字的方法， 进而出现了用式子表示数量的方法，以解决各种数量关系的问题，于是产生了以解方 程的原理为中心问题的初等代数 用字母代替数字，使得字母和代数式成为数的化身，是数学领域的巨大进步 虽然代数比算术先进得多，可是毕竟还是研究的固定的数的运算，函数的出现使得代数 产生了质的飞跃，字母不再局限于代表一个固定的数了，它可以是变量了，数学式子的种类 也更丰富了，出现了超越式，例如指数式、对数式、三角函数式、反三角函数式，等等又 由于解析几何的出现，出现了用方程表示曲线，用代数方法刻画几何问题不过，用字母代 替数的仍然是一切运算的基础，相应地，代入法成为各种运算和推演的常态 二、代入法的广泛应用 代入法无处不在，在目前的高中阶段，可以依照运算对象的不同做如下分类—— ①、解方程； ②、求复合函数的定义域和解析式以及其它特征； ③、求递推数列的通项公式； ④、求三角函数的初相，周期，最值，单调区间等特征量； ⑤、代入法求轨迹方程； ⑥、解选择题与填空题。
值得指出的是，由于代入法的发展，还出现了整体思想方法，出现了构造思想方法，迭 代思想方法，递推思想方法，等等，极大地丰富了数学的手段下面，重点阐述第二至第五 类问题中代入法思想的运用，意在明确“代入”二字在数学中的重要地位，以利我们在教学 中主动地培养学生的代入意识 1、求复合函数的定义域和解析式以及其它特征【例 1】已知函数1yfx的定义域是1,1 ，求 yfx 的定义域解析：令1xt，则1xt，将 x 代入1yfx的定义域，得1＜1t＜1，2＜t ＜0，所以 yf t 的定义域是2,0 ，即 yfx 的定义域是2,0 例 2】已知函数 yfx 的定义域是1,1 ，求1yfx的定义域解析： yfx 的定义域是1,1 ，将1x代入，得1＜1x＜1，所以 0＜ x＜2，即1yfx的定义域为0,2 例 3】已知函数21fxx，求21fx的解析式解析：用21x代替21fxx中的 x ，得212 21143fxxx例 4】已知函数 yfx 为实函数，且12fxfxx，求 fx 的表达式解析：以1x换 x ，得12112fxfxxffxxx，消去1fx，得223xfxx湖南黎国之数学教育文存2 【例 5】已知函数 yfx 的定义域的是 R，最小正周期为T，求21fx的最小正周期。
解析： yfx 的周期为T，所以fxfxT ，以21x代替 x ，则21fx满足2121fxfxT1122222Tfxfx，令12xt，代入得222Tftft，记2ftg t ，即有2Tg tg t，所以函数 g t 的最小正周期为 2T，亦即21fx的最小正周期为 2T例 6】已知函数 yfx 的单调递增区间是1,1 ，求21fx的单调递增区间解析：因为函数 yfx 的单调递增区间是1,1 ，所以1＜ x＜1，以21x代替 x，得1＜21x＜1，所以2＜ x＜0，即21fx的单调递增区间是2,0 例 7】已知函数 yfx 的单调递增区间是1,1 ， 单调递减区间是1,2 ， 求21fx的单调递增区间 解析：函数 yfx 的单调递减区间是1,2 ，以21x代入其中即可求得21fx的单调递增区间， 1＜21x＜2，得12＜ x＜0，故21fx的单调递增区间是1,02例 8】已知函数 yfx 图像的一个零点是3x，求函数21fx的一个零点解析： yfx 图像的一个零点是3x，以21x代替 x，得213x，所以2x为所求21fx的一个零点2、求递推数列的通项公式解决这类问题的技术手段有许多，但其主要思想无非是构造法思想，即当不能直接求出 数列na的通项公式时，先通过配凑的方法构造出一个与na 相关的新数列nb，其中nnbf a，把nb 当作一个整体求出以后再解出na 。
例 9】 （2006 年福建高考理科）已知数列na满足* 111,21().nnaaanN求数列na的通项公式 解析：* 121(),nnaanN∴112(1)nnaa，1na是以112a为首项， 2 为公比的等比数列，∴12n na，即有*21()n nanN例 10】 、已知数列 {na }满足.2)2(241* 1aNnnaan nn，且，求及na . 解析： ∵n nnaa241∴122211nnnnaa，令n2n nab，则) 1(211nnbb，∴{nb +1}是以首项为2121 1ab，公比为 2 的等比数列，∴n nb21，∴nna212n，得数列 {na } 的通项公式为nn na222例 11】 （2006 年山东高考文科）已知数列｛na ｝中，21 1a，nnaan12，点（）在直线yx上，其中 . 1,2,3n(Ⅰ)令是等比数列；求证数列nnnnbaab, 11 (Ⅱ)求数列的通项；na湖南黎国之数学教育文存3 解析： （I）∵nnaan12，点（）在直线yx上，∴naann12①∴121naann②①－②得：13211nnnaaa∴)1(21111nnnnaaaa又11nnnaab∴121 nnbb，而1212aa得43 2a。
∴数列 {nb } 是以首项为431121aab，公比为21的等比数列II）由（ I）得12143nnb，∴1121431nnnaa，即1121431nnnaa由：112211)()()(aaaaaaaannnnn21214312143121431032nn =2 23nnII） 另解： ：∵nnaan12，点（）在直线yx上，∴naann12①令)(21)1(1ynxaynxann，可化为：0221yxxnaann，与①比较系数得21yx，∴ ①可化为：)2(212)1(1nanann，∴n n nana213)21()21(211，∴2 23nann例 12】已知数列 {na } 满足 a1=1，633 1 nn naaa，求na解析：由 633 1nn naaa，得11211nnaa，即：)11(2111nnaa，余略3、求三角函数的初相，最值，单调区间等特征量 重点来看如何根据给出的条件求初相 我们知道，用“五点法”作正弦型函数sinyAx的图像时，其顺序是先给出正弦曲线sinyx的 5 个基本点（三个零点，两个顶点）的值（0、 2、、32、2）填入第二栏，再分别令x等于这些值，解出x 的值填入第一栏中。
这个操作，本质上是在x与0、 2、、32、2中建立了一一对应的变换既然如此，现在我们将已知点代入sinyAx时，就应该反回来，看sinyAx中的那个已知点是由sinyx图像上的哪个点变换过来的，令x的值等于在sinyx上与之对应的 x的值只要这样操作，则无论代入哪个已知点，求出来的的值都是唯一确定的，又快又好这种方法可以叫做“对应点比对法”，但是本质还是代入法 【例 13】 （2011天津文科 7）已知函数( )2sin(),f xxxR，其中0,,( )f x若的最湖南黎国之数学教育文存4 小正周期为6，且当 2x时，( )fx取得最大值，则（）A．( )f x在区间[ 2 ,0]上是增函数B．( )f x在区间[ 3 ,]上是增函数 C．( )f x在区间[3,5]上是减函数D．( )f x在区间[4,6]上是减函数【解析】 ：由题知，2163，1( )2sin()3fxx，比对sinfxx的图像，知12322k，又，∴3∴1( )2sin()33f xx，余略，选 A 例14】 （ 2011 浙 江 文 科18 ） 已 知 函 数( )sin () 3f xAx，xR，0A，02．( )yf x的部分图像，如图所示，P、Q分别为该图像的最高点和最低点，点P的坐标为(1, )A． （Ⅰ）求( )fx的最小正周期及的值； （Ⅱ）略（Ⅱ）若点R的坐标为(1,0)，23PRQ，求A的值．解析： （Ⅰ）解：由题意得，26.3T因为(1,)PA是sin()3yAx图象上的最高点，所以1232kkZ因为02，所以取0k，得6。
4、代入法求轨迹方程 在解析几何学中， 根据条件求动点的轨迹方程是一个基本任务，其中有一类问题属于 “点 随点动”的，即一个待求轨迹的动点随着与之联动的已知轨迹方程的点运动，解决这类问题 使用的方法，在不同的复习资料或者研究文献中上有不同的名称，如“相关点法”、“转移 法”、“代入法”等等，笔者觉得，用“代入法”这个名称是最恰当的，因为它体现了问题 的本质，遗憾的是，课本上根本没有给其取名 【例 15】 （必修 2）已知正方形的中心为点1,0M，一条边所在的直线方程是350xy，求正方形其它三边所在的直线方程解析：设直线350xy所在边的对边直线上任意一点的坐标为,P x y ，则点P 关中心1,0M对称的点的坐标为2,Pxy ，点P必定位于已知直线350xy上，所以所求直线方程为：2350xy，即370xy全文完】联系方式：： 13574820168 ：827135738 邮箱 hunanliguozhi@ 联系地址：湖南长沙市宁乡县玉潭镇二环西路100 号邮编 410600 。