§§1-4 1-4 倒格子倒格子(Reciprocal lattice) (Reciprocal lattice) 主要内容1 1、倒格子定、倒格子定义2 2、倒格子与正格子的关系、倒格子与正格子的关系3 3、倒格子与傅立叶、倒格子与傅立叶变换1 1、倒格子定义定义：定义：基矢基矢正格子空间正格子空间（或正点阵）（或正点阵）基矢基矢倒格子空间倒格子空间（或倒易点阵）（或倒易点阵）其中其中为正格子原胞体积为正格子原胞体积2 2、倒格子与正格子的关系、倒格子与正格子的关系空间空间基矢基矢位置矢量位置矢量正格子空间正格子空间倒格子空间倒格子空间简称简称“倒格矢倒格矢”(Reciprocal lattice vector)2.1 数学描述数学描述3 2.2 2.2 倒格子与正格子基矢间关系倒格子与正格子基矢间关系i,j=1,2,3 之间存在如下关系：之间存在如下关系：注意：倒格子基矢的量纲是注意：倒格子基矢的量纲是[ [长度长度] ]-1-1，与波数矢量具有，与波数矢量具有相同的量纲相同的量纲4 为何要引入为何要引入“倒格子倒格子”概念？概念？倒格子概念是理解晶格X射线衍射、处理晶格振动和固体电子论等有关问题的有力工具。
倒格子是由基矢 所规定的正格子经过一定转变而构成的另一种布拉伐格子结构二者在几何上存在一定的对应关系，该对应关系所联系的规律恰是傅里叶变换5 晶列晶列晶面晶面晶向指数晶向指数密勒指数密勒指数1 1、该族晶、该族晶面相对于基面相对于基矢的取向矢的取向—法线方向法线方向2 2、该族晶面、该族晶面的面间距的面间距d d；；研究晶格（正格子空间）结构研究晶格（正格子空间）结构“倒格子倒格子”6 2.32.3位矢之间关系位矢之间关系正格子位矢：正格子位矢：倒格子位矢：倒格子位矢：二者的关系：二者的关系： ( (m m为整数为整数) )；； 表明表明：若两矢量点积为：若两矢量点积为2π2π的整数倍，则其中一个矢量的整数倍，则其中一个矢量为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢7 2.42.4二者原胞体积的关系二者原胞体积的关系倒格子原胞的体积倒格子原胞的体积v*与正格子原胞体积与正格子原胞体积v的关系为的关系为:证明提示证明提示：将：将 表达式代入后，利用矢量运算即可证明表达式代入后，利用矢量运算即可证明8 2.5 2.5 正格子中正格子中(h1h2h3)晶面族晶面族与倒格矢与倒格矢Gh的关系即即 沿晶面族沿晶面族（（h1h2h3））的法线方向的法线方向。
证明提示证明提示：设晶面：设晶面ABCABC是晶面族是晶面族（（h h1 1h h2 2h h3 3）中最靠近原点的晶面，）中最靠近原点的晶面，截距分别为截距分别为思路：能证明思路：能证明 同时垂直于同时垂直于 和和 ，即能证明，即能证明 垂直垂直于面于面ABCABCOa1a2a3a1/h1a2/h2a3/h3G倒格矢倒格矢 与正格与正格子中密勒指数为（子中密勒指数为（h1h2h3) )的晶面族正交的晶面族正交1)(1)9 简单证明如下：ABCOa1a2a3a1/h1a2/h2a3/h3G10 (2)(2)晶面族（晶面族（h1h2h3) )的面间距的面间距d d为为证明证明：由前面的证明可知，原点到面ABC的距离即为所求面间距(设为d) ABCOa1a2a3a1/h1a2/h2a3/h3Ghd11 3、倒格子与傅立叶变换、倒格子与傅立叶变换同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的表述之间遵守表述之间遵守傅里叶变换傅里叶变换。
设晶格中某点的某一物理量表示如下设晶格中某点的某一物理量表示如下：晶格的周期性晶格的周期性傅里叶变换傅里叶变换12 (m为整数为整数)；； 显然有显然有：即即或者或者所以，同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空所以，同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空间中的表述之间遵守傅里叶变换关系间中的表述之间遵守傅里叶变换关系13 原胞里任一点原胞里任一点傅里叶级数傅里叶级数宗量宗量晶格周期性函数晶格周期性函数为整数为整数—— 倒格子空间是正格子的倒易空间倒格子空间是正格子的倒易空间 —— 周期性函数可以展开为傅里叶级数周期性函数可以展开为傅里叶级数 14 由倒格子基矢由倒格子基矢得到得到 代入代入15 —— 积分在一个原胞中进行积分在一个原胞中进行得到得到16 小小 结结每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联系着，即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易系着，即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易点阵），二者互易点阵），二者互易( (例如体心立方与面心立方例如体心立方与面心立方互为倒格子互为倒格子) )，这两个点阵都是由三个基矢所，这两个点阵都是由三个基矢所定义的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成，定义的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成，且两种格子空间中长度的量纲互为倒数且两种格子空间中长度的量纲互为倒数；；对于给定的正格子，基矢对于给定的正格子，基矢 的选择的选择是不唯一的，相应的倒格子基矢是不唯一的，相应的倒格子基矢 的的选择也是不唯一的，但对应的倒格子却是唯一选择也是不唯一的，但对应的倒格子却是唯一确定的；确定的；同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的表述之间遵守傅里叶变换；表述之间遵守傅里叶变换；17 小结小结晶体的晶体的显微显微图象图象 真实晶体结构真实晶体结构的映象；的映象； 晶体的晶体的衍射衍射图象图象 倒格子（倒易点阵）倒格子（倒易点阵）的映象的映象；晶体点阵晶体点阵(正格子正格子)的格点的格点对应原子、分子或其集团对应原子、分子或其集团倒格子中的格点倒格子中的格点对应晶体中的一族晶面对应晶体中的一族晶面晶体点阵晶体点阵(正格子正格子)的格点的格点位于位置空间或坐标位于位置空间或坐标空间内的空间内的,其线度的量其线度的量纲为纲为[长度长度]倒格子中的格点倒格子中的格点在与真实空间相联系在与真实空间相联系的倒易空间或傅里叶的倒易空间或傅里叶空间内的空间内的18 描述微观粒子运动状态的波矢描述微观粒子运动状态的波矢k k具有和倒格子空间具有和倒格子空间同样的量纲。
同样的量纲倒格子空间倒格子空间又称状态空间或又称状态空间或简称为简称为k k空间空间19 —— 倒格子与正格子间的关系倒格子与正格子间的关系 1) 正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积 20 2）正格子中一簇晶面）正格子中一簇晶面 和和 正交正交 —— 可以证明可以证明与晶面族正交与晶面族正交21 晶面方程晶面方程3）倒格子矢量）倒格子矢量 为晶面为晶面 的法线方向的法线方向各晶面到原点的距离各晶面到原点的距离面间距面间距22 例例1 1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列23 倒格是边长为 的正方形格子倒格是边长为 的正方形格子24 例例2 2：：证明体心立方的倒格是面心立方证明体心立方的倒格是面心立方解：解：体心立方的原胞基矢：体心立方的原胞基矢：25 倒格矢：倒格矢：同理得：同理得：体心立方的倒格是边长为体心立方的倒格是边长为4 4 / /a的的面心立方面心立方 。
26 例例3 3：证明简立方晶面：证明简立方晶面( (h1 1h2 2h3 3) )的面间距为的面间距为证明：证明：由由得：得：简立方：简立方：法一：法一：27 28 法二：法二：设设ABC为为晶面族晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，中离原点最近的晶面，ABC在基矢在基矢 上的截距分别为上的截距分别为 ， ，由平面方程由平面方程 得：得：29 对于立方晶系：对于立方晶系：且：且：30 。