内江师范学院数学与信息科学学院,吴开腾,制作,5.2 线性微分方程组的一般理论,讨论线性微分方程组,的一般理论，,主要研究它的解的结构,如果 ，则（5.14）称为,非齐线性的,如果 ，则（5.14）称为,齐线性的,，即称：,为齐线性的，通常（5.15）称为对应于（5.14)的,齐线性方程组,5.2.1 齐线性微分方程组,主要讨论齐线性微分方程组（5.15）所有解的集合的代数结构前提：,A,(,t,)在区间 上是连续的1、定理2（,叠加原理,）如果 和 是（5.15）的解，则它们的线性组合 也是（5.15）的解，这里 是任意常数5.15）的所有解构成一个线性空间，那么这个空间的维数是多少？于是有类似的概念：向量函数组线性相关（无关）性，以及向量函数组的伏朗斯基行列式一、基本定理,分析,：,2、向量函数的相关性,考虑定义在区间 上的向量函 ，如果存在不全为零的常数 ，使得恒等式,对于所有 都成立，则称这些向量函数是,线性相关的,，否则就称这些向量函数在所给区间上,线性无关的,3、向量函数的伏朗斯基（Wronsky）行列式,由定义在区间 上的,n,个向量函数 所作成的如下行列式称为,伏朗斯基行列式,，即,其中，,构造一个齐次线性代数方程组，由代数方程解的理论得证。
分析：,4、定理3,若向量函数 在区间 上,线性相关，则在 上它们的伏朗斯基(Wronsky),行列式为零，即有：,6、定理5,齐线性方程组（5.15）一定存在,n,个线性无,关的解分析：反证方法分析：构造方法5、定理4,如果方程(5.15)的解 在区间 上线性无关，则 在 内的任何点上都不等于零，即有：,推论1：,方程（5.15）的线性无关解的最大个数等于 因此有：齐线性方程组的所有解构成一个 维线性空间,定义：,方程（5.15）的一组 个线性无关解称为方程的一个,基本解组,，显然，基本解组不唯一,7、定理6（通解结构定理）,如果,是方程（5.15）的 个线性无关的解，,则方程（5.15）的任一解均可表为：,其中 是相应的确定常数推论2：,如果已知（5.15）的,k,个线性无关解，则（5.15）可以降低为含,n-k,个未知函数的线性微分方程组特别地，如果已知（5.15）的,n,1个线性无关解，则（5.15）的通解即可得到阶线性微分方程通解的结构定理),推论3：,如果,是阶微分方程,的n个线性无关解，其中 是区间 上的连续函数，则（5.21）的任一解均可表示为,其中 是任意常数二、基本概念,1、解矩阵,2、基解矩阵,如果一个 矩阵的每一列在区间 上都是线性无关的,解矩阵,称为在区间 上（5.15）的,基解矩阵,。
如果一个 矩阵的每一列都是（5.15）的解，则称这个,矩阵,为（5.15）的,解矩阵,3、定理（,通解的结构定理,）,为了寻求齐线性微分方程组（5.15）的任一解，需要寻求一个基解矩阵那么，怎样判定一个解矩阵是基解矩阵？,这里 是确定的 维常数列向量,C,定理1,*,(5.15)一定存在一个基解矩阵，,如果 是的任一解，那么,注意：,行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的例如：,定理2*,（5.15）的一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是 而且，如果对于某一个 ，则,（表示矩阵 的行列式）,无穷与有限的转换！,线性无关组不一定能构成解！,例1 验证,是方程组,的基解矩阵其中,2、计算解矩阵的行列式值，并进行判断解（步骤）：,1、首先验证是解矩阵：即把矩阵的每一列作为一个向量验证是否是解？,推论1*,如果是（5.15）在区间 上的一个基解矩阵，是 非奇异常数矩阵，那么,也是在区间 上的一个基解矩阵,这说明：,基解矩阵的表示形式不是唯一的,验证方法证明推论2*,如果 ，在区间 上是,的两个基解矩阵，那么,存在一个非奇异,常数矩阵 ，使得在区间 上，有,这说明基解矩阵的相似性,构造方法证明：,构造常数矩阵,C,.,5.2.2、非齐线性微分方程组,目的：,利用（5.15)解的结构来讨论（5.14)解的结构.,1、非齐线性微分方程组解的性质,2、非齐线性微分方程组解的结构,3、应用,1、非齐线性微分方程组解的性质,性质1,如果 是(5.14)的解，是对应的齐线性微,分方程组(5.15)的解,则 是(5.14)的解.,性质2,如果 ,是（5.14）的解，则,是（5.15）的解.,基本思想：代入式验证。
基本思想：代入式验证2、非齐线性微分方程组解的结构,定理7,设 是（5.15）的基解矩阵，是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解 都可表示为,这里 是确定的常数列向量.,基本思想：代入式验证？,利用性质2,由定理7得知，为了寻求（5.14)的任一解，只要知道（5.14)的一个解和它对应的齐线性微分方程组（5.15)的基解矩阵那么,如何求它的一个特解？,应用前面介绍的,常数变易方法,求（5.14)的一个解注 释,定理,设 是（5.15）的基解矩阵，则向量函数,是（5.14）的解，且满足初始条件：.,分析定理7和定理8，非齐线性微分方程组（5.14）的满足初始条件,的解 可由下面公式给出,(5.15)满足初始条件 的解,公式（5.26）或(5.27)称为非齐线性微分方程组（5.14）的,常数变易法,例2：试求初值问题,的解解,：1、因为,是对应齐线性方程组的基解矩阵；,2、由,定理8,，求满足初始条件 的解,3、求题设初始条件 的解（利用解的结构定理）.,原方程的解为,求非齐次线性微分方程组求解基本步骤：,1、求对应齐次线性微分方程组的基解矩阵；,2、求初始条件为0的解；,3、再求初始条件的解；,理论基础：定理7和定理8（,解的结构定理,。
注,：,n,阶线性微分方程的求解（,推论3,）；,是否已完全解决了非齐次线性微分方程组的求解问题（没有？）,3、应用（,n,阶非线性微分方程解的结构,）,(1)、,推论3,如果 是区间 上的连续函数，是区间 上齐线性方程,的基本解组，那么，非齐线性方程,的满足初始条件,的解由下面公式给出,其通解为：,这里 是任意常数,基本方法：常数变易法,（2）特殊情况，,n,=2时的常数变易方法的公式,其通解为：,这里 是任意常数,例3：试求方程,的一个解解：第一步:求对应齐线性方程的基本解组；,第二步:求特解；,第三步:求任一解作业：p216-217 1,3,6,7,8,9,10(1,2),。