如皋市港城实验学校八年级下数学期末复习 二次函数知识点班级_________姓名_____________一、二次函数的概念一般地，形如，特别注意a不为零那么y叫做x 的二次函数叫做二次函数的一般式二、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点三、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像四、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.（2）配方法：用配方法，将抛物线化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 若抛物线上有两点A（m,n）、B(p,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线x= 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.五、二次函数的性质 1．二次函数的性质函数二次函数图像a>0a<0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2．二次函数中，的含义：（1）决定开口方向及开口大小：>0时，抛物线开口向上； <0时，抛物线开口向下。
越小，开口越大（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧. 口诀 --- 同左 异右（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： ①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴； ③,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .3．二次函数图象的平移 平移规律：左加右减 上加下减 (必须理解记忆)4．二次函数的解析式 （1）一般式：（2）顶点式： （3）交点式：5．二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标因此用一元二次方程中的来判断二次函数图像与x轴的交点情况当>0时，图像与x轴有两个交点；若图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．则两点间的距离当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点6．两点间距离公式：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为AB= 7.设两条直线分别为，： ： 若且。
若8.二次函数的最值 如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，二次函数期末复习（基础题）班级____________学号______________姓名___________________二次函数的定义1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1； ②y=2x2； ③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1； ⑥y=mx2+nx+p； ⑦y=－5x2.若函数y=(m－2)xm2 －2+5x+1是关于的二次函数，则m的值为 二次函数的对称轴、顶点、最值1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝ ，c＝ .3．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴4．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－的顶点的横坐标是2，则m的值是_ .5．已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m＝ 。
6．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 二次函数的增减性1.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而 ；当x<1时，y随x的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 2.已知函数y=4x2－mx+5，当x> －2时,y随x的增大而增大；当x< －2时，y随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为 3.已知二次函数y=x2－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .4.已知二次函数y=－x2+3x+的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且30； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（ ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤2.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ）3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的( ) 4.正比例函数y=kx的图象在二、四象限，则二次函数y＝kx2-k2x+1的图象大致为图中的（ ）A B C D 5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a，b同号； ②当x＝1和x＝3时，函数值相同； ③4a＋b＝0; ④当y＝－2时，x的值只能取0； 其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）1. 如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝ （写一个即可）2. 如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于点C， 则△ABC的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.13. 若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是 4. 已知抛物线y＝x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
函数的交点1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 函数解析式的求法1．已知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式 2．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x2的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式 3．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式二次函数应用1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.(1)试求y与x的之间的关系式.(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是。