六大定理的相互证明总结XXX 学号数学科学学院 数学与应用数学专业班级指导老师 XXX摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其 中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理. 该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相 互证明.关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定 理1 确界定理1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界.1.2 确界定理证明区间套定理证明：设一无穷闭区间列｛〔a , b ] ｝适合下面两个条件：（1）后一个区间在前nn一个区间之，即对任一正整数n，有a < a < b < b，（2）当n tw时，区 n n+1 n+1 n间列的长度｛ （b - a ） ｝所成的数列收敛于零，即lim（b -a ）= 0.n n n nntw显然数列匕｝中每一个元素均是数列｛b ｝的下界，而数列｛b ｝中每一个元素均是n n n数列匕｝的上界.由确界定理，数列匕｝有上确界，数列｛ ｝有下确界.n n n设a = inf ｛ B = sup% ｝显然 a 0，在｛y ｝中nn至少有一个数y ，有y >卩-s .但由于｛y ｝是单调增加数列，因此当n > N时，N N n有y > y ，从而y >卩一 s .也就是说：当n > N时，有nNn0 < p - y < sn所以y tPn2 单调有界原理2.1 单调有界原理 单调有界数列有极限.2.2 单调有界原理证明致密性定理在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列｛x ｝必存在单调子数列.n证明：⑴若｛x ｝中存在递增子序列｛x ｝，则引理已证明；nnk⑵若｛ ｝中无递增子序列'那么3 n >0 '使n > n '恒有x > x .同样在｛ ｝( nn 1 1 n1 n n于是又存在n2 >0'使 n 2 > n> n J中也无递增子序列.，恒有x < x < x .如此无限进行下去便可得到一n2 n n1严格递减子序列引理得证.下面证明定理：由引理知'有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知' 该有界单调子数列必有极限'即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列.2.3 单调有界原理证明区间套定理[1]由定理的条件立即知道匕｝是单调增加有上界的数列’缶｝是单调递减有下界的nn数列.根据定理'则lima存在'且极限等于L ｝的上确界.同样'limb也存在'n n nnTg ns且极限等于｛ ｝的下确界.亦即对任何正整数k '有na < lima ,b > limb （*）k n k nns ns由定理的另一条件：lim（b - a ）= 0 '并且由于已知｛ ｝及｛ ｝的极限都存在' n n n nns则有 lim（b 一 a ）= limb 一 lima = 0 . n n n nns ns ns从而证明了两个极限相等'且设g是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果即已证得.剩下要证的是：g是所有区间的唯一公共点.由(*)的两个不等式，即有 a < g < b ( k = 1,2,3 …)kn也就是g是所有区间的一个公共点.现在要证明g是所有区间的唯一公共点.设除点g外，所设区间列还有另外一个公共点g '，且g'心.由于a |g' -g ( n = 1,2,3 …)n n由数列极限的性质知道：lim(b -a )> g' - g|n n I Ins由于 lim(b - a )= 0 ，故有nnnTgg '-g|< 0从而有g' =g .到此定理的全部结果都已得证.3 区间套定理nn3.1区间套定理设一无穷闭区间列｛ \a , b ］ ｝适合下面两个条件：(1)后一个 区间在前一个区间之，即对任一正整数n，有a < a < b < b，(2)当n tw n n+1 n+1 n时'区间列的长度｛ ( - a ) 1所成的数列收敛于零，即limO? - a )= 0，则区n n tw n n间的端点所成两数列£ ｝及｛b ［收敛于同一极限g '并且g是所有区间的唯一公 nn占共点.3.2 区间套定理证明单调有界原理 证明：设数列& ｝递增有上界.n取闭区间\a ,b ］，使a不是数列｛x ｝的上界'b是数列｛x ｝的上界.显然在闭区1 1 1 n 1 n间\a ,b］含有数列仁｝的无穷多项'而在\a ,b ］外仅含有数列｛x ｝的有限项.1 1 n 1 1 n对分\a ,b ］，取\a ,b ］，使其具有\a ,b ］的性质.故在闭区间\a ,b ］含有数列｛x ｝1 1 2 2 1 1 2 2 n的无穷多项’而在\a ,b ］外仅含有数列仁｝的有限项.2 2 n以此方法'得区间列｛ \a ,b ］ 1.nn由区间套定理，g是所有区间的唯一公共点.显然'在g的任何邻域有数列｛x ｝的无穷多项'即饥>0' 3 N e N* '当n > Nn所以lim x =g 定理得证.nnTs3.3 区间套定理证明致密性定理［1］ 证明：设｛y ｝为有界数列'即存在两个数a,b '使a < y < b.等分区间L,b］为两nn个区间'则至少有一个区间含有｛y ｝中的无穷个数.把这个区间记为\a ,b ］'如 n 1 1果两个区间都含有无穷个y ，则任取其一作为\a ,b ］.再等分区间\a ,b ］为两半' n 1 1 1 1记含有无穷个y的区间为\a ,b 1这个分割手续可以继续不断的进行下去'则得 n 2 2到一个区间列｛ \a , b ］ ｝'这个区间列显然适合下面两个条件： nn(1) \a, bL\a , b L\a , b L …1 1 2 2b—a(2) b — a = —T 0n n 2 n于是由区间套定理'必存在唯一点 g e la,b］使a Tg,b Tg，且g g la ,b ］n n k k(k = 1,2,3 …).每一 \a ,b ］中均含有｛y ｝的无穷个元素.k k n在\a ,b ］中任取｛y ｝的一项'记为y '即｛y ｝的第n项.由于\a ,b ］也含有无穷1 1 n n1 n 1 2 2个y '则它必含有y以后的无穷多个数'在这些数中任取其一'记为y '则nn n1 n 2 1< n .继续在每一 \a ,b ］中都这样取出一个数y '即得｛y ｝的一个子列('2 k k n n nkk其中n < n <•••< n，且 a < y < b .令k T g，由于 a T g,b T g,故1 2 k k n k k kky Tg .这就是定理所要的结果.nk4 致密性定理4.1 致密性定理 又称尔斯特拉斯定理'任一有界数列必有收敛子列.4.2 致密性定理证明单调有界原理证明：不妨设｛x ｝单调递增且有界'根据致密性定理有收敛子列nkn*）令limx二a .于是，对Vs >0，3 k，当k > k时，有 00x - a < £nk由于｛x ｝单调递增'显然恒有x < ann(n = 1,2,3 …).由此（*）式可改成 0 < a - x < £nk取 N = n ，当 n > N 时有 0 < a - x < a - x < £ k0 n nk所以 lim x二anns4.3 致密性定理证明柯西收敛原理[1]证明：首先证明条件的必要性：设x T a，则对任意给定£ >0，有一正整数N，当k > N时，有 n从而当m, n > N时，有|x - x | < |xn m n-a + |a - x | < — + — = £m 2 2其次证明条件的充分性：首先，证明满足条件的任何数列必有界.从所设条件，取£ =1，必有一正整数N0，当 m, n > N 时’有 |x - x | < 10 n m特别地，当n > N且m = N +1时，有00x - xn N o +1<1从而当 n> N 时，有x 0，必有正整数K，当k > K时，有|x — a < £n取一正整数k = max(K +1, N +1).于是 k > K，且n > n > N +1 > n .因此'0 0 ko N +1当n > N时，由已知条件有x -x < s，所以n nk0k0lim x = anns5 柯西收敛原理5.1柯西收敛原理数列ix ｝有极限的必要与充分条件是：对任意给定的s >0，n有正整数N，当m , n > N时，有|x - x | < s .n m5.2 柯西收敛原理证明单调有界原理证明：反证法，设& ｝为一递增且有上界M的数列.假设其没有极限，则用柯西n收敛原理表达就是玉>0，对VN e N*，当m,n > N时，有||x 一 xn jI >sm取s = 1，必有一正整数N，当n ,n > N时，有1 1 2 1又由于数列｛x ｝为一递增的数列，所以nx 一 xn n21x 一 xn n21=x 一 x > 1n2 n1取s = 1，必有一正整数N，当n , n > N时，有x — x > 11 2 3 1 n3 n 2取s = 1，必有一正整数N，当n , n > N时，有x — x > 11 3 4 1 n 4 n3取s = 1，必有一正整数N，当n , n > N时，有x — x > 11 k k +11 n nk + 1 k将以上式子相加，得x > k + 1 T g ( k T a ) nk+1与数列｛x ｝有上界M矛盾，假设不成立.n即，单调有界数列有极限.5.3 柯西收敛原理证明致密性定理证明：反证法，设｛x ｝为一有上界M的数列.n假设其没有收敛子列.由子列收敛的定义，则玉>0，对VN e N*当 n ,n > N 时，有 k+1 k-xnk必有一正整数 N1，当 n , n > N 时，有 x 一 x > 112 1 n n21。