大学物理教程第7章

171 习题习题 7 7 7-1．如图所示的弓形线框中通有电流I，求圆心O处的磁感应强度B 解：圆弧在 O 点的磁感应强度：00 146IIBRR，方向：； 直导线在 O 点的磁感应强度：0000 203[sin60sin( 60 )]4cos602IIBRR， 方向：； ∴总场强：031()23IBR，方向 7-2．如图所示，两个半径均为 R 的线圈平行共轴放置，其圆心 O1、O2相距为 a，在两线圈 中通以电流强度均为 I 的同方向电流 （1）以 O1O2连线的中点 O 为原点，求轴线上坐标为 x 的任 意点的磁感应强度大小； （2）试证明：当aR时，O 点处的磁场最为均匀 解： 见书中载流圆线圈轴线上的磁场， 有公式：2 0 32222()IRB Rz  （1）左线圈在 x 处P点产生的磁感应强度：2 0 132222[() ]2PIRBaRx ， 右线圈在 x 处P点产生的磁感应强度：2 0 232222[() ]2PIRBaRx ， 1PB和2PB方向一致，均沿轴线水平向右， ∴P点磁感应强度：12PPPBBB233 0222222[() ][() ]222IRaaRxRx； （2）因为PB随x变化，变化率为dB d x，若此变化率在0x 处的变化最缓慢，则 O 点处的磁场最为均匀， 下面讨论 O 点附近磁感应强度随x变化情况， 即对PB的各阶导数进行讨论。

对B求一阶导数： dB d x255 02222223()[() ]()[() ]22222IRaaaaxRxxRx 当0x 时，0dB dx，可见在 O 点，磁感应强度B有极值 对B求二阶导数： 172 22()ddBd B dx dxdx 222 0 5757 2222222222225()5()31122 2[() ][() ][() ][() ]2222aaxxIRaaaaRxRxRxRx 当0x 时，202xd B dx22 2 07 2223 [( ) ]2aRIRaR， 可见，当aR时，2020xd B dx，O 点的磁感应强度B有极小值， 当aR时，2020xd B dx，O 点的磁感应强度B有极大值， 当aR时，2020xd B dx，说明磁感应强度B在 O 点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀强磁场 【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N匝线圈，相对距离等于线圈 半径， 通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场， 比长直螺线管产生的磁场方便实验， 这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】 7-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c部分是在xoy 平面内半径为R的半圆，试求通以电流I时O点的磁感应强度。

解：∵a 段对 O 点的磁感应强度可用0SB dlI求得， 有：0 4aIBR，∴0 4aIBjR b 段的延长线过O点，0bB ， c 段产生的磁感应强度为：00 44cIIBRR，∴0 4cIBkR则：O 点的总场强：00 44OIIBjkRR  +，方向如图 7-4． 在半径cm1R的无限长半圆柱形金属片中， 有电流A5I自下而上通过，如图所示试求圆柱轴线上一点P处的磁感应强 度的大小 解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dlRd的长直电流， 有：dlddIR ，利用0SB dlI 173 在 P 点处的磁感应强度为：00 222dIIddBRR， ∴0 2sinsin2xIdBdBdR ，而因为对称性，0yB  那么，005 220sin6.37 102xxIIBBdBdTRR  7-5．如图所示，长直电缆由半径为 R1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为 R2、R3的导体圆 筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度 I 都均匀地分布在横 截面上。

求距轴线为 r 处的磁感应强度大小（r0） 解：利用安培环路定理0SB dlI分段讨论 （1）当10rR时，有：2102 12r IBrR ∴0 12 12IrBR ； （2）当12RrR时，有：202BrI，∴0 22IBr ； （3）当23RrR时，有：22 2 3022 322()rRBrIIRR， ∴22 320 322 32IBRrRrR ； （4）当3rR时，有：402()BrII，∴40B  则：0 2 1011222 3 2322 3230(0)()()0()222rRRrR B RrRrRIr RI rRrrI RR       7-6 ． 一 边 长 为l=0.15m的 立 方 体 如 图 放 置 在 均 匀 磁 场 (631.5 )T Bijk中，计算（1）通过立方体上阴影面积的磁通量； （2）通过立方体六面的总磁通量 解： （1）通过立方体上（右侧）阴影面积的磁通量为 Wb135. 015. 066)5 . 136(2 1 SSSmdSidSkjiSdB174 （2）由于立方体左右两个面的外法线方向相反，通过这两个面的磁通量相互抵消，同理， 上下两面和前后两面各相互抵消，因此通过立方体六面的总磁通量为 0。

7-7．一根很长的直导线，载有电流 10A，有一边长为 1m 的正方形平面与 直导线共面，相距为 1m，如图所示，试计算通过正方形平面的磁感应通量 解： 将正方形平面分割成平行于直导线的窄条， 对距离直导线为 x 宽度 为 dx 的窄条，通过的磁通量为 dxxIdxxIBldxdm  21200 通过整个正方形平面的磁通量为 Wb104122260210.lnIdxxI m 7-8．如图所示，在长直导线旁有一矩形线圈，导线中通有电流120AI，线圈中通有电流210AI，已知 d=1cm,b=9cm,l=20cm，求矩形线圈上所受到的合力是多少？ 解：矩形线圈上下两边所受的磁力相互抵消 矩形线圈左边所受的磁力为 N1082410 2121dIlIlBIF方向向左 矩形线圈右边所受的磁力为 N108)(2510 2222bdIlIlBIF方向向右 矩形线圈上所受到的合力为 N102 . 74 21FFF 方向向左 7-9．无限长直线电流1I与直线电流2I共面，几何位置如图所示， 试求直线电流2I受到电流1I磁场的作用力。

解：在直线电流2I上任意取一个小电流元dlI2， 此电流元到长直线的距离为x，无限长直线电流1I 在小电流元处产生的磁感应强度为： 0 1 2IBx， 再利用dFIBdl，考虑到0cos60dxdl ，有：0 1 2 02cos60I IdxdFx， ∴0 1 20 1 2 0ln2cos60baI II IdxbFxa 175 7-10．一半径为R的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的 长直导线的电流I等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长 直导线单位长度所受的磁力 解：设半圆柱面导体的线电流分布为1IiR， 如图，由安培环路定理，i电流在O点处产生的磁感应强度为： 0 2idBRdR， 可求得：001 20sin2OyiRIBdBdRR； 又∵dFIdlB ， 故0 1 2 22OI IdFB I dldlR， 有：0 1 2 2I IdFfdlR，而21II ， 所以：2 0 2πIdFfdlR 7-11．有一根U形导线，质量为m，两端浸没在水银槽中， 导线水平部分的长度为l，处在磁感应强度大小为B的均匀 磁场中，如图所示。

当接通电源时，U导线就会从水银槽中 跳起来假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略， 试由导线跳起所达到的高度h计算电流脉冲的电荷量q 解：接通电流时有FBIldvmBIldt，而dqIdt， 则：mdvBldq，积分有： 0vmmvqdvBlBl； 又由机械能守恒：mghmv 2 21，有：ghv2，∴2mvmqghBlBl 7-12．截面积为S、密度为的铜导线被弯成正方形的三边， 可以绕水平轴OO 转动，如图 14-53 所示导线放在方向竖 直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I时，导线离开原来 的竖直位置偏转一个角度而平衡，求磁感应强度 解：设正方形的边长为a，质量为m，aSm 平衡时重力矩等于磁力矩： 由mMpB，磁力矩的大小：202sin(90)cosMBIaBIa； 重力矩为：sin2sin2sin2aMmgamgmga OydB176 平衡时：2cos2sinBIamga，∴22tantanmggSBIaI 7-13．在电子显像管的电子束中，电子能量为 12000eV，这个显像管的取向使电子水平地由南向北运动。

该处地球磁场的竖直分量向下，大小为55.5 10 T问： （1）电子束受地磁场的影响将偏向什么方向？ （2）电子的加速度是多少？ （3）电子束在显像管内在南北方向上通过 20cm时将偏离多远？ 解： （1）根据fqvB可判断出电子束将偏向东 （2）利用2 21mvE ，有：mEv2， 而maqvBf，∴1141028. 62smmE mqB mqvBa （3）2211( )3mm22Lyatav 7-14．如图所示，一个带有电荷q(0q )的粒子，以速度v平行于均匀 带电的长直导线运动，该导线的线电荷密度为（0） ，并载有传导 电流I试问粒子要以多大的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离 为d的平行线上？ 解：由安培环路定律0lB dlI知： 电流I在q处产生的磁感应强度为：0 2IBd，方向； 运动电荷q受到的洛仑兹力方向向左，大小：0 2q vIFqvBd洛， 同时由于导线带有线电荷密度为，在q处产生的电场强度可用高斯定律求得为： 02Ed ，q受到的静电场力方向向右，大小：02qFd 电； 欲使粒子保持在一条与导线距离为d的平行线，需FF洛电， 即：0 2qvId02q d ，可得00vI  。

思考题 7-1．在图（a）和（b）中各有一半径相同的圆形回路1L、2L，圆周内有电流1I、2I，其分布相同，且均在真空中，但在（b）图中2L回路外有电流3I，1P、2P为两圆形回路上的对应点，则： 1212( )ddPPLLABlBl BB，； 1212( )ddPPLLBBlBl BB，； B电子束方向南北177 1212( )ddPPLLCBlBl BB，； 1212( )ddPPLLDBlBl BB， 答：B的环流只与回路中所包围的电流有关，与外面的电流无关，但是回路上的磁感应强 度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加所以（C）对 7-2． 哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B随x的变化关系？ （x 坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O） 答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度 23222 0)(2。