§4.1数学期望一、数学期望的定义定义1.若X~P{X=xk}=Pk, k=1,2,…n, 则称为X的数学期望，简称期望或均值定义2.若X~P{X=xk}=Pk, k=1,2,…,且 则称为X的数学期望定义3.若X~f(x),-¥0，有这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。
它有以下等价的形式：§4.３协方差，相关系数一.协方差定义与性质1.协方差定义：若X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在, 则称COV(X, Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.为X与Y的协方差, 易见 COV(X, Y)=E(XY）－E(X)E(Y). 当COV(X,Y)=0时，称X与Y不相关2.协方差性质(1) COV(X, Y)=COV(Y, X);(2) COV(X,X)=D(X); COV(X,c)=0(3) COV(aX, bY)=abCOV(X, Y), 其中a, b为 常数；(4)COV(X+YZ,)=COV(X,Z)+COV(Y,Z)(5)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y).二.相关系数1.定义:若X，Y的方差和协方差均存在, 且DX>0,DY>0，则，称为X与Y的相关系数.注：若记称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且2.相关系数的性质(1) |rxy|£1；(2) |rxy|=1Û∃常数a,b使P{Y=aX+b}=1；a﹥0时，rxy＝1;a﹤0时, rxy＝－1(3) X与Y不相关Ûrxy=0;注：若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。
三. 矩1. K阶原点矩Ak=E(Xk), k=1, 2, …而E(|X|k)称为X的K阶绝对原点矩；2.K阶中心矩Bk=E[X-E(X)]k,k=1,2, …而E|X-E(X)|k称为X的K阶绝对中心矩；3.K+L阶混合原点矩E(XkYL),k,L=0,1, 2, …；4. K+L阶混合中心矩E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]L},k,L=0,1,2, …；四. 协方差矩阵1.定义:设x1，…,xn为n个r.v.,记Cij=cov(xi, xj),i, j=1, 2, …, n. 则称由Cij组成的矩阵为随机变量 x1，…,xn的协方差矩阵C即C=C11⋯C1n⋮⋱⋮Cn1⋯Cnn第四章练习题一、单项选择题1.随机变量X,Y的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X,Y ( )(A)不相关的充分条件，但不是必要条件 (B)独立的充分条件，但不是必要条件(C)不相关的充分必要条件(D)独立的充分必要条件2.设随机变量X与Y相互独立,D(X)=5, D(Y)=2,则D(2X-Y+2) = ( )(A).12; (B).18; (C).20; (D).22.3．设随机变量X～N(0,1),Y=2X+1则Y服从 （ ）．（A）N(1,4) （B）N(0,1)（C）N(1,1) （D）N(1,2)．4．设随机变量X～N(1,σ²)，则D(X)满足 （ ）．（A）D(X)=E(X²)；（B）D(X)≥E(X²)；（C）D(X)＜E(X²)；（D）D(X)＞E(X²)．5．设X为随机变量且E(X)=μ，D(X)=σ²，则对任给常数C,有 （ ）．(A)E( X-c)2= E( X2)-c2；(B)E( X-c)2= E( X-μ)2(C)E( X-c)2＜E( X-μ)2； (D)E( X-c)2≥E( X-μ)26.设随机变量X与Y相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布, 则E(XY) （ ）（A）1, （B）2, （C）3, （D）4二、填空题1.设X～B(n,p),且E(x)=2.4,D(x)=1.44,则n = , p = .2.设X~U[a,b],且EX=0, DX=1,则a = , b = .3.设随机变量X的均值为m,方差为s2,则由契比晓夫不等式, 有估计式P{x-μ<4σ}≧ .4．设随机变量X的分布律为X-202P0.40.30.3则E(X)= ，E(x²)= ，D(3X²+5)= ．5．设随机变量X的概率密度为f(x)=Ax3,1
2.设随机变量X的概率密度函数为f(x)=ax2+bx+c,0
3.设X只取值于[a,b],求证a≤E(x)≤b,D(x)≤(b-a)2/418。