2.6 半序(偏序)关系

第二章第二章第六节 半序（偏序）关系1第二章第二章定义1 设R为非空集合A上的关系如果R是自反的、反对称的和传 递的，则称 R 为 A上的半序(偏序)关系，记为 ≼ 对一个偏序关系 ≼ ，如果 ≼ ，则记为 x ≼ y注：1. 集合A上的恒等关系IA是A上的偏序关系，但空关系和全域关系EA 一般不是A上的偏序关系2. 实数域上的小于等于关系（大于等于关系），自然数域上的整除关系，集合的包含关系等都是偏序关系一.偏序关系与偏序 集2第二章第二章注：在具有偏序关系的集合A中任二元素 x 和 y 之间必有下列四种情形之一：x ≺ y ，y ≺ x ，x=y ，x 与 y 不可比例 设A={1, 2, 3}(1) ≼ 是A上的整除关系，则：1 ≺ 2, 1 ≺ 3, 1＝1, 2＝2, 3＝3，2 和 3 不可比；(2) ≼ 是 A 上的大于等于关系，则: 2 ≺ 1, 3 ≺ 1, 3 ≺ 2, 1＝1, 2 ＝2，3＝3定义2 设R为非空集合A上的偏序关系，定义(1) x, yA, x ≺ y当且仅当 x ≼ y且 x≠y(2)  x, y A, x 与 y 可比当且仅当 x ≼ y 或 y ≼ x3第二章第二章定义3 设R为非空集合A上的偏序关系，如果x, yA, x 与 y 都是可比的, 则称R为A上的全序关系。

例如 大于等于关系（小于等于关系）是全序集，但整除关系一般不是全序集定义4 带有某种指定的偏序关系 ≼ 的集合A称为偏序集，记为.例如 整数集Z和数的小于等于关系≤构成偏序集 ;集合A的幂集P(A)和集合的包含关系 构成偏序集.定义5 设 为偏序集，x, y  A, 如果 x ≺ y且不存在 z A, 使得x ≺ z ≺ y, 则称 y 覆盖 x例如 A={1, 2, 4, 6}上的整除关系，有2覆盖1，4和6都覆盖2，但4不覆盖1,6不覆盖44第二章第二章利用偏序关系的自反性、反对称性和传递性可简化偏序关系的关系图， 得到偏序集的哈斯图设有偏序集, 其哈斯图的画法如下：(1) 以 A 的元素作为顶点，适当排列各顶点的顺序, 使得对 x, y  A， 若x≺ y, 则将 x 画在 y 的下方2) 对A中两个不同元素 x 和 y, 如果 y 覆盖x, 则用一条线段连接 x 和 y.例 画出偏序集的哈斯图. 二. 哈斯图解：它们的哈斯图分别为图A、图B表示如下： 847236 951图A{a,b}{a,b,c}{a}{b}{b,c}{c}{a,c}图B5第二章第二章例 已知偏序集的哈斯图如下：求集合A和关系R的表达式。

aedfhgbc解: A={a, b, c, d, e, f, g, h},R={, , , , , , , , }∪IA.6第二章第二章定义6 设 为偏序集， B A. 存在yB, 使得(1) x(xB→y≼x) 成立，则称 y 是B的最小元；(2) x(xB→x≼y) 成立，则称 y 是B的最大元；(3) x(xB∧x≼y→x=y) 成立，则称 y 是B的极小元；(4) x(xB∧y≼x→x=y)成立，则称 y 是B的极大元；注：•极大 (极小) 元未必是最大 (最小) 元极大 (极小) 元未必与B中任何元素都可比；(2) 对有限集B，极大 (极小)元一定存在，但最大(最小)元不一定存在;(3) 最大 (最小) 元如果存在，必定是唯一的; 而极大 (极小) 元一般不唯 一但如果B中只有一个极大 (极小) 元, 则它一定是B的最大 (最小) 元三. 偏序集中的特殊元素7第二章第二章解：极大元：a, f, h; 极小元: a,b,c,g; 无最大元和最小元例 求上例中A的极大元、极小元、最大元、最小元，8第二章第二章定义7 设为偏序集，BA. (1)若存在若存在y y A A, , 使得使得x(xB→x≼y)成立, 则称y为B的上界; (2)若存在若存在y y A A, , 使得使得x(xB→y≼x)成立，则称y为B的下界；(3) 令 C＝{y|y为B的上界}，则称C的最小元为B的最小上界或上确界； (4) 令 D＝{y|y为B的下界}，则称D的最大元为B的最大下界或下确界.注：1. B的最大元(最小元)必定是B的上界(下界)，也是B的上确界(下确界)。

2. B的上界和上确界都未必是B的最大元，因它们可能不在B中同理， 下界和下确也未必是B的最小元3. B的上界、上确界、下界、下确界都可能不存在但如果上确界(下确 界)存在，则它是唯一的9第二章第二章例 考虑下图中的偏序集.令B = { b, c, d }, 试讨论B的上(下)界，最大下界，最小上界等解析： (1)则B的下界和最大下界 都不存在; (2)上界有d和f, 最小上界 为d.10第二章第二章例 设A={2,3,4,6,7,8,12,36,60}, 在半序集(A,|)上，半序关系|是整除关系 取B1={7,8}, B2={8,12}, B3={2,3}, B4={2,4,12}， 则Bi(i=1,2,3,4)集合上的上(下)界,上(下)确界，极大(下)元 ？• 作出哈斯图 ！11第二章第二章集合上界下界 上确 界下确 界极大 元极小 元 B1无无无无7,87,8B2无4,2无48,128,12B36,12, 36,60无6无2,32,3B412,36, 60212212212第二章第二章作业：P52 25,3113。