数列通项公式方法大全很经典1，数列通项公式的十种求法： 公式法 例1 已知数列{an}满足an+1=2an+3´2n，a1=2，求数列{an}的通项公式 an+1an3an+1an3an=+-={}是，则，故数列2n+12n22n+12n22nan3a23==1=1+(n-1)以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，n12222231n所以数列{an}的通项公式为an=(n-)2 22解：an+1=2an+3´2n两边除以2n+1，得评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+3´2n转化为an+1an3-=，说明数列2n+12n2aan3{n}=1+(n-1)是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列nn222{an}的通项公式 累加法 例2 已知数列{an}满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列{an}的通项公式 解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a3-a2)+(a2-a1)+a1=[2(n-1)+1]+[2(n-2)+1]++(2´2+1)+(2´1+1)+1=2[(n-1)+(n-2)++2+1]+(n-1)+1(n-1)n=2+(n-1)+12=(n-1)(n+1)+1=n2所以数列{an}的通项公式为an=n2。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+2n+1转化为an+1-an=2n+1，进而求出(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a3-a2)+(a2-a1)+a1，即得数列{an}的通项公式 n变式：已知数列{an}满足an+1=an+2´3+1，a1=3，求数列{an}的通项公式 累乘法 例3已知数列{an}满足an+1=2(n+1)5n´an，a1=3，求数列{an}的通项公式 解：因为an+1=2(n+1)5n´an，a1=3，所以an¹0，则an+1=2(n+1)5n，故anan=anan-1××an-1an-2×a3a2××a1a2a1×[2(2+1)´52][2(1+1)´51]´3 +2+1=[2(n-1+1)5n-1][2(n-2+1)5n-2]×=2n-1[n(n-1)×=3´2n-1×3´2]´5(n-1)+(n-2)+´n!n-1´3´5n(n-1)2所以数列{an}的通项公式为an=3´2´5n(n-1)2´n!. an+1进而求=2(n+1)5n，an评注：本题解题的关键是把递推关系an+1=2(n+1)5n´an转化为出anan-1××an-1an-2×a3a2××a1，即得数列{an}的通项公式。
a2a1变式：已知数列{an}满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+项公式 待定系数法 +(n-1)an-1(n³2)，求{an}的通例4已知数列{an}满足an+1=2an+3´5n，a1=6，求数列{an}的通项公式 解：设an+1+x´5n+1=2(an+x´5n) n ④ nn+1n，等式两边消去=2an+2x´5将an+1=2an+3´5代入④式，得2an+3´5+x´5nnx×5,x=-1,，两边除以5，得3+5x=2x则代入④式得2an，得3×5n+x×5n+1=2an+1-5n+1=2(an-5n) ⑤ an+1-5n+1n由a1-5=6-5=1¹0及⑤式得an-5¹0，则，则数列=2{a-5}是以nnan-51na1-51=1为首项，以2为公比的等比数列，则an-5n=2n-1，故an=2n-1+5n 评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+3´5n转化为an+1-5n+1=2(an-5n)，从而可知数列{an-5n}是等比数列，进而求出数列{an-5n}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式 变式： ①已知数列{an}满足an+1=3an+5´2n+4，a1=1，求数列{an}的通项公式。
②已知数列{an}满足an+1=2an+3n2+4n+5，a1=1，求数列{an}的通项公式 对数变换法 5例5已知数列{an}满足an+1=2´3n´an，a1=7，求数列{an}的通项公式 55解：因为an+1=2´3n´an式两边取，a1=7，所以an>0，an+1>0在an+1=2´3n´an常用对数得lgan+1=5lgan+nlg3+lg2 设lgan+1+x(n+1)+y=5(lgan+xn+y) ⑩ 11 ○将⑩式代入○11式，得5lgan+nlg3+lg+2xn(++1)y=5(lgan+xn+y，两边消去5lgan并整理，得(lg3+x)n+x+y+lg2=5xn+5y，则 lg3ìx=ïìlg3+x=5xï4，故 íílg3lg2x+y+lg2=5yîïy=+ï164î代入○11式，得lgan+1+lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n+1)++=5(lgan+n++) ○12 41644164由lga1+得lgan+lg3lg3lg2lg3lg3lg2´1++=lg7+´1++¹0及○12式， 41644164lg3lg3lg2n++¹0， 4164lgan+1+则lg3lg3lg2(n+1)++4164=5， lg3lg3lg2lgan+n++4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2++n++}是以lg7+为首项，以5为公比的等41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n-1n++=(lg7+++)5，因此比数列，则lgan+41644164所以数列{lgan+lgan=(lg7+lg3lg3lg2n-1lg3lg3lg2++)5-n--4164464141614n-1n4=(lg7+lg3+lg3+lg2)5=[lg(7×3×3×2)]514116141411614n-1-lg3-lg3-lg211614n411614-lg(3×3×2)n411614=lg(7×3×3×2)5n-1-lg(3×3×2)=lg(75n-1×3=lg(75n-1×3n-15n-1-n4×35n-1-116×2)5n-1-14)5n-4n-116×25n-1-14则an=75´35n-4n-116´25n-1-14。
5评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an+1=2´3n´an转化为lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n+1)++=5(lgan+n++)，从而可知数列41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2{lgan+n++}是等比数列，进而求出数列{lgan+n++}的通项41644164lgan+1+公式，最后再求出数列{an}的通项公式 数学归纳法 例6已知数列{an}满足an+1=an+8(n+1)8，a=，求数列{an}的通项公式 122(2n+1)(2n+3)9解：由an+1=an+88(n+1)a=及，得 19(2n+1)2(2n+3)28(1+1)88´224=+=(2´1+1)2(2´1+3)299´25258(2+1)248´348 a3=a2+=+=(2´2+1)2(2´2+3)22525´49498(3+1)488´480a4=a3+=+=(2´3+1)2(2´3+3)24949´8181a2=a1+(2n+1)2-1由此可猜测an=，往下用数学归纳法证明这个结论 2(2n+1)(2´1+1)2-18当n=1时，a1==，所以等式成立 2(2´1+1)9(2k+1)2-1假设当n=k时等式成立，即ak=，则当n=k+1时， 2(2k+1)8(k+1) 22(2k+1)(2k+3)ak+1=ak+(2k+1)2-18(k+1)=+(2k+1)2(2k+1)2(2k+3)2[(2k+1)2-1](2k+3)2+8(k+1)=(2k+1)2(2k+3)2(2k+1)2(2k+3)2-(2k+3)2+8(k+1)=(2k+1)2(2k+3)2=(2k+1)(2k+3)-(2k+1)(2k+1)2(2k+3)2222(2k+3)2-1=(2k+3)2[2(k+1)+1]2-1=[2(k+1)+1]2由此可知，当n=k+1时等式也成立。
根据，可知，等式对任何nÎN都成立 评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明 换元法 *例7已知数列{an}满足an+1=1(1+4an+1+24an)，a1=1，求数列{an}的通项公式 1612(bn-1) 24解：令bn=1+24an，则an=故an+1=121(bn+1-1)，代入an+1=(1+4an+1+24an)得 241612112(bn+1-1)=[1+4(bn-1)+bn] 24162422即4bn+1=(bn+3) 因为bn=1+24an³0，故bn+1=1+24an+1³0 则2bn+1=bn+3，即bn+1=可化为bn+1-3=13bn+， 221(bn-3)， 21为公比的等比数2所以{bn-3}是以b1-3=1+24a1-3=1+24´1-3=2为首项，以列，因此bn-3=212n-1111=n-2，则bn=n-2+3，即1+24an=n-2+3，得 222an=21n1n1++ 3423评注：本题解题的关键是通过将1+24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化bn+1=13bn+形式，从而可知数列{bn-3}为等比数列，进而求出数列{bn-3}的通项公式，22最后再求出数列{an}的通项公式。
不动点法 例8已知数列{an}满足an+1=21an-24，a1=4，求数列{an}的通项公式 4an+1解：令x=21x-2421x-24224=0，则x1=2，x2=3是函数f(x)=，得4x-20x+的4x+14x+1两个不动点因为 21an-24-2an+1-24an+121an-24-2(4an+1)13an-2613an-2====所以数列21a-24an+1-39an-3n-321an-24-3(4an+1)9an-274an+1ìan-2üan-2a1-24-213n-113是以为首项，以为公比的等比数列，故==2=2，íý9a-34-3a-39a-31nînþ则an=1132n-1-19+3 评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)=个根x1=2，x2=3，进而可推出21x-2421x-24的不动点，即方程x=的两4x+14x+1ìa-2üan+1-213an-2，从而可知数列ín=×ý为等比数an+1-39an-3îan-3þ列，再求出数列íìan-2üý的通项公式，最后求出数列{an}的通项公式 îan-3þ7an-2，a1=2，求数。