第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:1 —4 —1-18 32011—4—1-183=2x(-4)x3+0x(-1)x(-1)+1 x1 x8-0x1 x3-2x(-1)x8-1 x(-4)x(-1)c 〃方 匕c Q“co 〃匕 cc2)w/V=—24+8+16-4=-4.ab=acb¥bacv cba- bbb-aaa- ccc=3 a be-1 cc214小(3)1 cc2 l〃z72z 214〃=b&+ ca2+ a»— ao^-ba1- c*=(a-b)(b-d)[c-a).x y x+y(4) y x+y x .x+y x yx y x+y解 y x+y xx+y x y=x[x+^yvyx[x+^+[x+^yx-^-[x+^-^1=3%ah•力一尸—3*尸"一尸一川二-2(*+尸).2 .按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1)1234;解逆序数为0(2)4132;解逆序数为4:41,43,42,32.(3)3421;解逆序数为5:32,31,42,41,21.(4)2413;解逆序数为3:21,41,43.(5)13--•(2/7-1)24--(2/7);解逆序数为若少：32(1个)52,54(2个)72,74,76(3个)(2/7-1)2,(2/7-1)4,(2/7-1)6,•••,(2/7-1)(2/7-2)(/7-1个)(6)13…(2/7-1)(2/7)(2/7-2)•••2.解逆序数为。
＞1):32(1个)52,54(2个)(2/7-1)2,(2/7-1)4,(2/7-1)6,•••,(2/7-1)(2/7-2)(/7-1个)42(1个)(2/7)2,(2/7)4,(2/7)6,•••,(277)(2/7-2)(/7-1个)3 .写出四阶行列式中含有因子外/3的项.解含因子不切3的项的一般形式为(—1)01/3a3r34s,其中乃是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即24和42.所以含因子外生3的项分别是(-1)^1123勿2 a44=(-1)1 a 1由3 a2国4=一日11由3 a2 a4,(-1)'a 1323534 a42=(-1)2 a 1&3334a42=ai 1 4 a2.4 .计算下列各行列式：42072021111141100\)/1—T 2341110-o 4121 o2021T 23041100-3 q -&-C0T4207202111CN 1141110002411-1190179017T 2341101122423672023152)020042342312020242362023152 c-%4236T2O2315o=020042301T 2 o2310r*一-ah ac ae(3) bd -cd debf cf -ef-ab ac ae —bbd —cd de =adf bbf cf -ef ' b—111=adfhce 1-11^=4ahcdef.oold o 1 c 71 fp - oqtoo\!/OOI J 41 CT bETO OTOO r OOI J O1 CT 1* Jp - qtooQ-l。
oold=(-1)(-1)2+,8+a-lo必d =abc杰 aZcchratM.\+ab—1二(一1)(一1)3+25.证明:a2 ab b2=(-l)3+1ab-a2 b2-a2b—a -20 0ab-a- b2-a2b-a 2b-2a=(b-a)(b-a), » 2(1) 2a a+b 2b=(a-b\3',111ax+by ay+bz az+bx(2) ay+bz az+bx ax+by =(a3+Z73)y z xaz+bx ax+by ay+bz证明ax+by ay+bz az+bx ay+bz az+bx ax+by az+bx ax+by ay+bzx ay+bz az+bxy ay+bz az+bx=ay az+bx ax+by +b z az+bx ax+byz ax+by ay+bzx ax+by ay+bzx ay+bz =a2 y az+bxax+by+b2z az+bx x ax+by y ay+bz3=a3二4x+b3 y=(a3+Z?3)a2 (a+1)2 (a+2> (a+3)2 b2 ("Ip 0+2)2 (b+3)2 c2 (c+l)2 (c+2)2 (c+3)2 12 (d + l)2 3 + 2)2 3+3)2证明b2 c2 d-3+1)2 (a+ 2)2 (q+3)2 3 + 1)2 3 + 2)2 3 + 3)2 (c+1)2 (c+2)2 (c+3> (d + l)2 ("2)2 (d+3)2(a-Q, 03-01, 02-6 得)a1 2a+1 勿+3 2a+5 b~ »+l »+3 »+5 c2 2c+i 2c+3 2
/?-c)(/?-a)(c-a)(外加/ a);证明7r 24 Iddd 1 cc2c418/22/74 i 724144〃oo o1b-ab(b-a)b2(b2-a2)1c—ac(c—a)c2(c2-a2)id -ad(d—a)d2(d2-a2)=(b-d)(c-d)(d-a) bed b2(b+d) c2(c+d) d2(d +a)1 11=(Z7-a)(c—a)(d-a)O c—b d—b0 c(c—Z?)(c+Z?+q) d(d—b)(d + b+a)=(b-a)(c-aXd-a)(c-b)(d-b)c(c^b+a) d(d^b+a)=[a-b)[a-(^{a-d)[b-d)[b-d)[c-d)[a¥b¥G}-d).oo oox -1 00 x -15 5) =xn-k-Q'\xn〔+,,,+an-ix^~a〃.0 0 0 ••• X -1an an-\ an-2 ' ', 02 %+证明用数学归纳法证明.当 n=2时，2=［二1=x2+a}x+a2,命题成立.人 I CXi假设对于(>1)阶行列式命题成立，即Dn-X=XP1+& XP 之+,・・+3n-2X+3n-\,则2按第一列展开，有oo ： 一 oo - XOT -1T上1a\\=(_])"-】anXa2\= (-l)"T(-l)Ta\\ a2l%—XDnL.1+Qrr-XP-\-QyX!11+•・・-VQn-AX-^dn .因此，对于〃阶行列式命题成立.6 .设〃阶行列式A=det(a〃)，把。
上下翻转、或逆时针旋转90或依副对角线翻转，依次得D尸%-•• ann,d2=4〃-'' ann，D3=4〃-*' a\naw ,a\na\\,'' an\%-'' a\\n(n-l)证明1=3=(—1)丁D.证明因为2=det(a»,所以D\= a\\ a\nn(n-\)二(_|\l+2+--+(n-2)+(n-l)£)=(_])2 Q同理可证n(n-l)2=(T 尸a\\ an\=(-l)~^DT=(-l)~^D.a\n annn(n-l) n(n-l)3=(-1)亍2=(-1尸~(T)k D=(—D"("T)D=D.7 .计算下列各行列式（以为攵阶行列式）：a 1（1）&= ,其中对角线上元素都是a,未写出的元素1 a都是0;解o Q o - o oQ o o - o 1Q"OOQ10 0.0〃o o o - Q o（按第〃行展开）ooo oo Q o Qo产loooooa+(-1产•・.a(n-l)x(n-l)a二(-1严・(-1)〃 ,・.a+4=a〃一"2=a〃-2(存_1)(〃一2)(〃一2)XQ)D『aa ••• xa解将第一行乘（-1）分别加到其余各行，得x aaD,尸a-xx-a0a-x0x-aa—x 0 00 x-a再将各列都加到第一列上，得二[奸(/7-1 )a]( .x+(n-l)a a a0 x-a 0…D.= 0 0 x-a …x-a(3)n„+13T)”3—l)"Tq—11(a—n)"(q_/7)"Ta—n1解根据第6题结果，有〃5+1)加=（T）2an-{a"1ci—13-4严3—D"1a-n(a-n)n~l(a-n/此行列式为范德蒙德行列式.Q+产（T尸 川）］n+l>/> />!(4)% =/7(H+1)=(-1 尸 n^-；)]rt+l>Z> j>\■〃+l) ”+(〃-1)+…+1 __=(-l - ri(Dn+l>i> j>\=n(D.n+l>i>j>lax b]C1 4解4 b“%=囚夕（按第1行展开）ci a\%0q b、c\44-100 dna\ b\+ (-1产+勾 Q d1,5=。
4一"1，C1 ul° an-\再按最后一行展开得递推公式D2^QndnDln-2^bnCnD2n-2y 即 DzrF^^Sndrr-bnCn)Dzn-2-〃于是 4,=n(M -%)2 ・i=2而 D2=所以 D2n=n(q4-.Z=1(5) z^det(^),其中8尸15；解为=15,1234_____〃〃〃”.321031A cll1111 o 112.0123-1 11 10"-1 n-2〃一3〃一4・・・0-1111— 1—1 1 i— 1—1—11— 1—1—1—1•••n-\ n-2 h-3 n-AOO-2-2-000-2-oooo .zi-1 2n-3 2h-4 2n-5n-\1 +］11 •1 + %・- 1… 111。