不定积分的换元积分法(1)第二节第 4章二、典型例题一、主要内容三、同步练习四、同步练习解答一、主要内容(一 ) 定理 (第一类换元积分法 ) ,)( 具有原函数设 uf,)( 可导xu ϕ==′∫xxxf d)()]([ ϕϕ∫uuf d)()(xu ϕ=∫)(d)]([ xxf ϕϕ=′∫xxxf d)()]([ ϕϕ—— 换元公式换元思想 : 设变换),(xu ϕ=化积分为易于求解的形式 .)(xu ϕ=令即关键：如何选择 u=ϕ (x) ?注一般地，如何选择 ?)(xu ϕ=2º 对于不易观察的情形，可从被积函数中拿出某个因式 求导数，1°需要熟悉一些常见函数的微分形式，直接配元用公式：∫= )(d)]([ xφxφfxxφxφf d)()]([′∫CxφF += )]([CxFxxf +=∫)(d)(若这个导数恰是剩下的其他因式 (最多相差一个常数 ), 则这个因式可作为 ϕ (x).(二 ) 常见的选 u=ϕ (x) 规律∫+ xbaxf d)(∫ +==baxuuufa]d)([1(1)(2)∫+xxxf d)(1 μμ)1,(1−≠=+μμxu(3)∫xxxfd)(ln)ln( xu =(4)∫xxxf dsin)(cos)cos( xu =(5)∫xxxf dcos)(sin)sin( xu =(6)∫−xxxfd1)(arcsin2)arcsin( xu =(7)∫+xxxfd1)(arctan2)arctan( xu =(8)∫xxxf dsec)(tan2)tan( xu =(9)∫xxxxf dtansec)(sec)sec( xu =……常见的选 u=ϕ (x) 规律 (续 1)时 ，特别地，当 nm =∫xxxnmdcossin)10(奇数 ，或 :)( nm均为偶数，nm,)sin(cos xuxu == 或设用倍角公式xu 2sin=设常见的选 u=ϕ (x) 规律 (续 2)∫xnxmx dcossin)11(∫xnxmx dcoscos∫xnxmx dsinsin时，用倍角公式；当 nm =.时，用积化和差公式当 nm ≠常见的选 u=ϕ (x) 规律 (续 3)∫xxxnmdsectan)12(∫=Lxxxnmdcsccot⎩⎨⎧= xun tan: 偶数，设xum sec: =奇数，设(三 )基本积分公式的补充∫=xxdtan)9(=∫xxdcot∫=xxdsec)10(∫=xxdcsc，Cx +− cosln Cx +sinlnCxx ++ tanseclnCxx +−cotcscln=+∫xxad1)11(22=−∫xxad1)13(22=−∫xaxd1)12(22Caxa+arctan1Caxaxa++−ln21Cax+arcsin二、典型例题例1∫+ xbaxnd）（求联想公式：Cnuuunn++=+∫1d1∫+ xbaxnd）（xbaxnd∫+= ）（u du ?）（′+baxa1( a≠ 0, n为自然数）)d()(1baxbaxan++=∫）（ 令 baxu +=∫= uuand1Cnuan++=+1.11)( 代入baxu +=Cnabaxn+++=+)1(1）（解验证：=′⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++)1()(1nabaxnnbax )( +例2∫ucos ud31=）（原式 23d)23cos(31++=∫xx23 += xuCu+= sin31.23sin31Cx ++ ）（解Cuuu +=∫sindcos联想公式23 += xu∫+ xx d)23cos(例 3∫xxexd)1(2∫=2d212xex∫ueud21Cex+=221Ceueuu+=∫d联想公式：2xu=解∫∴ xxexd2求下列不定积分：联想公式：xxx d122∫−）（uud21∫−21 xu −=Cu +−=2332.21.131232Cx +−− ）（21 xu −=Cαuxuαα++=+∫1d1)1d(122xx −−=∫21−解原式)d(logln xaa例 4(1) xxxadlog∫∫= xalogxaxa⋅=′ln1)(logCaxa+⋅= ln2)(log2∫+xxxd)ln1(1)2(2∫+=2ln1d）（ xCx++−=ln11xx1)ln1( =′+xualog=xu ln1+=)ln1( x+例 5 求下列不定积分：xxxd)1(1)1(∫+xxxd1)(112∫⋅+=xxd)(1122∫+=Cx+= arctan2)( xu=21−x∫+xxxfμμd)(1)(1+μ= xuxxxdsin)2(∫xx dsin2∫=Cx +−= cos2例 6求.d2arcsin412xxx∫−=原式解xxxd)2(11212arcsin12−⋅⋅∫2xu=uuud11arcsin12−∫)d(arcsinarcsin1uu∫=Cu += arcsinln Cx+=2arcsinln∫−xxxfd1)(arcsin2)arcsin( xu =例 7∫xxdcsc解 (方法 1)∫xxdcsc∫= xxdsin1∫⋅= xxxdsinsin12211cosx=⋅−∫)cos( xu=∫−−= uud112Cuu+−+−=11ln21∫++−−= uuud)1111(21.cos1cos1ln21Cxx+−+−=∫xxxf dsin)(cos)cos( xu =)d(cos x−(方法 2)∫xxdcsc∫++⋅= xxxxxxdcotcsc)cot(csccsc∫++= xxxxxxdcotcsccotcsccsc2∫++−= )cscd(cotcotcsc1xxxx=′+ )csc(cot xx xxx cotcsccsc2−−Cxx ++−= cotcscln或ln csc cotx xC= −+类似地，∫xxdsec Cxx ++= tansecln(方法 3)∫= xxdsin1∫⋅= xxxd2cos12tan1212∫⋅= xxxd2sec2tan1212)2d(tan2tan1∫=xx.2tanln Cx+=注 三种方法，积分结果形式上各不相同,但它们最多相差一个常数.∫= xxxd2cos2sin21∫xxdcsc∫xxxf dsec)(tan2)tan( xu =例8∫xxx dcossin)1(23∫⋅= xxx dsincos2)cos1(2x−求下列不定积分：∫xxxf dsin)(cos)cos( xu =∫−−= )d(cos)cos(cos42xxx.cos51cos3153Cxx ++−=∫= x2cos）（ x2cos1−− )d(cos x（降次 ）L=xxd)22cos1(2+=∫x83= x2sin41+ x4sin321+C+∫xxx dcossin322）（∫= xxd2sin412∫−= xxd24cos141.)4sin41(81Cxx +−=xxdcos24∫）（例 9 求解.d2cos3cos∫xxx)],cos()[cos(21coscos BABABA ++−=),5cos(cos212cos3cos xxxx +=∫∫+= xxxxxx d)5cos(cos21d2cos3cos.5sin101sin21Cxx ++=分析,sinsin,cossin bxaxbxax当被积函数为的形式时，或 bxax coscos常用积化和差. 再积分公式将被积函数化简后例 10∫xxx dsectan162）（∫= xx tandtan222tan1 ）（ x+L=∫xxx dsectan235）（∫= xsecdxx24sectanxxx secdsec1sec222∫−= ）（L=∫xxxf dsec)(tan2)tan( xu =∫⋅+= xxxx dsec)tan1(tan2222)sec( xu =∫xxxxf dtansec)(sec例 11∫−−221dxxx∫+−+=2)1(2)1d(xxCx++= )21arcsin(例 12xxxd1212∫+）（∫+=1)d(2x12+xCx ++= )1ln(2xeexxd1222∫+）（∫+=1)d(2xe12+xe21Cex++= )1ln(212∫+xex1d)3(xeeexxxd11∫+−+=∫+−= xeexxd)11(Cexx++−= )1ln(Cuuu+=∫lnd分解例 13）（222322d)(21axax++=∫∫+xaxxd)(23223∫+=2322)( ax）（222d axx +21222)( aax −+∫−+=2122)(21ax)(d22ax +∫−+−23222)(2axa)(d22ax +22ax +=222axa++ C+22axu +=例 14∫++xexxxxd)1(1∫++= xexxxxd)1()1(xexexexln=xex+1ln−C+）（′+xxe1xex）（ += 1∫++=)1()1d(xxxxexexe)1(xxeu +=令∫−=uuu)1(duuud)111( −−=∫Cuu +−−= ln1ln例 15求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf⎥⎦⎤′′′−′⎢⎣⎡∫解 原式⋅′=∫)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 ⎥⎦⎤′′′−⎢⎣⎡′=∫xxfxfxfxfd)()()()(22′′′−′Cxfxf+⎥⎦⎤′⎢⎣⎡=2)()(21))()(d(xfxf′∫′=)()(xfxf求解 (方法 1).cos11∫+dxx∫+xxdcos11()()∫−+−= xxxxdcos1cos1cos1∫−−= xxxdcos1cos12 ∫−= xxxdsincos12∫∫−= )d(sinsin1dsin122xxxx.sin1cot Cxx ++−=例 16(方法 2)∫+xxdcos11∫= xxd2cos212)2d(2sec2∫=xx.2tan Cx+=求.d12321xxx∫−++原式xxxxxxxd)1232)(1232(1232∫−−+−++−−+=xxxx d1241d3241∫∫−−+=)12d(1281)32d(3281−−−++=∫∫xxxx()().1212132121 33Cxx +−−+=例 17解∫+−xxxd11求∫−−= xxxd112∫−−−= xxxxd)111(22xxxxxd1d1122∫∫−−−=)1d()1(21arcsin2212xxx −−+=∫−Cxx +−+=21arcsin例 18∫++xxxxd)1(arctan1)arctan1( xu +=∫++= )arctan1d()arctan1(2 xxCx ++=2)arctan1()arctan1(′+ xxx21)(112⋅+=)1(21xx +=例 19∫−xxxd414∫−= )2d()2(1141222xxCx += )2arcsin(412∫−=24d41121xx例 20三、同步练习1.3.xbaxde+∫∫++ 32d2xxx2.xxxxd4831612(2) 2∫+−−xxexd)1(3∫4.∫xxdsec 5.xxxdesincos∫6. xx dsin4∫四、同步练习解答1. xbaxde+∫求解,baxu +=令,dd xau =则xbaxde+∫∴uaude1∫=1euCa= +1eax bCa+= +∫++ 32d2xxx∫+++=212)1d(）（ xxCx++= )21arctan(21∫+++=2)21(1)21d(21xx∫+21duuCu+= arctan21+=。