空间向量与空间角1基础知艰要打牢强 双 基I 固 本 源I 得 基 础 分I 掌握程度 知识能否忆起利用向量求空间角1.两条异面直线所成的角的求法设两条异面直线a,6的方向向量为a,b,其 夹 角 为9 ,则cos为异面直线a,力所成的角）.2,直线和平面所成角的求法如图所示，设直线，的方向向量为e,平 面的法向量为&直 线/与 平 面所成的角为0,两向量e与A的 夹 角 为9 ,则有s i n 0=|cosI=；口：3.求二面角的大小 如 图1,A B、切 是 二 面 角的两个面内与棱7垂直的直线，则二面角的大小0=（ABCD）如 图2、3,m,e分别是二面角a-7-的两个半平面a,的法向量，则二面角的大小 =5 1、1 1 2）（或 m -2,1 1 2）.小题能否全取1.（教材习题改编）已知向量力，刀分别是直线/和平面a的方向向量、法向量，若c o s m,n）=-I，贝1J，与所成的角为（）A.30B .60C.120D.150析解A选1-2-(m,n)=120.所以直线/与a所成的角为30.2.(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为()A.45 B,135C.45 或 135 D,90“，一 上，、m n 1 2解析：选C cos n)=7=r忑=2，即 ri)=45,其补角为135。
两平面所成的二面角为45 或1353.在如图所示的正方体4瓜G4-/及/中，是乙的中点，则异面直线DE与夹角的余弦值为()A.VToio9,120B.1Jib(D 20 10解析：选D如图建立直角坐标系-灯z,设为=1,4(1,0,0),-CA则)/DE-OE1,若异面直线与ZC以0,1,0),所成的角为cos S=cos(AC,DE|=Q-1-21-24.已知点民厂分别在正方体/及/-48K的棱砌，S上，且BE=2EB,CF=2F&,则平面/与平面所成的二面角的正切值为解析：如图，建立直角坐标系D-xyz,设物=1由已知条件4(1,0,0),B设平面/瓦7的法向量为A=(x,y,z),面/厮与面所成的二面角为&,n A E=0,由,n A F=0,1y+-z=0,0.得32-x+p+z令 y=l,z=3,x=l,则=(1,1,-3).设平面45的法向量为m=(0,0,-1),3A/2贝【J c o s 0-c o s ，in)=,t a n =.y/11 J生口案木,35.(教材习题改编)如图，在长方体4?5中，已知物二则异面直线4 8与笈C 所成角的余弦值_ _ _ _ _ _ _ _.解 析：建立如图所示直角坐标系，则 4 (4,0,3),6(4,4,0),-(4,4,3)*(7(0,4,0),AAB=(0,4,-3),BC=(-4,0,-3).设异面直线4 8与 6 c所 成 角 为9 ,DC=4、DDl=3,-.9则 c o s 0=c osA/,B Q=77.答 案：25(1)利用向量求空间角，一定要注意将向量夹角与所求角区别开来，在将向量夹角转化为各空间角时(J i -|r JI-注意空间各角的取值范围，异面直线所成角的范围是 o,yj,直线与平面所成角的范围是 o,yj,二面角的范围是 o,口.(2)利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面。
的法向量必，功时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量m m的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点.禺|高频 网 WW午GUAN抓考点|学技法|得拔高分|掌握程度异面直线所成的角典题导入 例 1 (陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱ABCA 1G,CA=CC=2CB、则直线6 a 与直线/笈夹角的余弦值为()A.咚 B.号5 3 自主解答 不妨令=1,则 Q=C G =2.可得0(0,0,0),8(0,0,1),G(0,2,0),4(2,0,0),5(0,2,1),5cl=(0,2,-1),A Br=(-2,2,1),-B C *AB 4 1 1 B二c o s (BC.,AB.=-=j=-=0.1 *3 *|BC.I A B,邓 X 乖 乖 5本例条件下，段仍上，是否存在一点四使G 与9 1所 成 角 的 余 弦 为 若 存 在，求出点，不存在，说明理由.解：不妨令/=1,CA=CG=2,建系如本例题图，假设存在符合条件的点设(0,0,a),则 G =(0，-2,a),又 AB1=(-2,2,1),.-|a-4 1 1|C O S(G M,Ab1|a -4 1 =yj4+才,廿 一 8 a +16=3 +4.3 38a=12,:.a=号 又 CB=、a =1.故不存在符合条件的点M._ _ 由题悟法利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角.5 G与4片的夹角即为直线8 G 与直线/反的夹角，直线B G与直线/笈夹角的余弦值为害.答案 A 一题 多 变以题试法1.(安徽模拟)如图所示，在多面体中，上、下4 吕G 和 切 互 相 平 行，且都是正方形，女U 底面/比 AB=2 AiA2 a(1)求异面直线/区与9所成角的余弦值；两个底面2 DIX =已知尸是血的中点，求 证：您 平面BC Q B,.解：以，为坐标原点，DA,DC,2 所在直线分别为x轴，y立如图所示的空间直角坐标系，贝 1 J /(2a,0,0),庾2a,2a,0),Di(0,0,a),Fa,0,0),61a,a,a),G(0,a,a).(1)A B 1=(-a,a,a),D Dr=(0,0,a),轴，z轴，建C(0,2 a,0),c o s A BX,D D A Bt-DDAB；|D DX=坐，所以异面直线A R与D R所成角的余弦值为坐.(2)证 明：B BX=(-a,-a,a),B C =(-2 a,0,0),FB=(0,a,a),F Bl-BB=0,.一 _ _ _ _ :.FB，BB,FBiL BC.F B1-B C=0,:BB C BC=B,FBi 1 平面 BC GBv.直线与平面所成角典题导入 例 2 (大纲全国卷)如图，四 棱 锥 切 中，底面加口底 面 绍 AC=2 y 2,P A=2,是 27上的一点，P E=2 E C.证 明：户 口 平 面 啦；设 二 面 角 小 至。
为 90求勿与平面阳，所成角的大小.自主解答(1)证 明：以/为坐标原点，射 线 为 x轴的正为菱形，P A1半轴，建立如图所示的空间直角坐标系d-x y z,则以2由0,0).设邓,女0),其中垃0,贝，(0,2),曹，0,|)-6,0).于是尸6 =(272,0,-2),嬴=停瓦1)瓦喈,I)从而PC 5月=0,PC-D E=0,故.P C L BE,P C IDE.又 BE C DE=E、所以/T,平面MZ(2)A P =(0,0,2),A B =(A/2,-0).设必=(x,y,z)为平面序8的法向量，贝 IJm,A P=0,m,A B=0,即 2/=0 且/x-by=Q,令 x=b、则卬=(6,yi,0).设 n=5、(7,r)为平面阳的法向量，贝 1 Jn-PC=0,n BE=0,即 2例 且 华 +的+!?=0,*J 0令 P=l,贝 壮=小 好-坐 A=11,一 坐 闾因为二面角4-必-为 90 ,所以面用6,面阳乙即 6-2,故 6=机一叫1-2-.北*4所以 5、D P)=60因 为 如 与 平 面 小 所 成 角 和 5、D P)互余,故 如与平面阳C所成的角为30 .由题悟法利用向量法求线面角的方法（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（钝角时取其补角）,取其余角就是斜线和平面所成的角（如例2）以题试法2.（宝鸡模拟）如图，已知为，平 面A BC,且PA =y 2,等腰直中，A B=BC=1,A BLBC,A D1PB于 D,A E1PC 于 E.求 证：尸 A平 面/庞；（2）求直线与平面/庞所成角的大小.解：证 明：因为以，平面4及7,所以用，用角 三 角 形A BC又 A B L B C,且用 C W=4所以8 c l.平面序8,从而8 CL4Z又 A D1PB、BC C PB=B,所 以 平 面 如 得 PC：。
又 PC LA E,A EH A D=A,所以/T,平面血况（2）如图所示，建立空间直角坐标系5-x y z.则 4（1,0,0）,以0,1,0）,户（1,0,木）,因为产平面力庞，所以p d =（-1,1,-镜）是平面/庞的一个法向量.设直线相与平面/理所成的角为9,则 s i一 尸 PC|ABT,1,N T 0,0 12=2则 直 线 与 平 面/庞 所 成 的 角 为 30二 面 角典题导入 例 3 (江西高考)在三棱柱A 6 C-4 6 c 中，已 知 加=/CBC=4,点 4 在底面力回的投影是线段6 c 的中点0.(1)证明在侧棱加1上存在一点使得您1平面BBC C、并(2)求平面4 6 c与平面圈G C 夹角的余弦值.自主解答 证 明：连 接 四 在 /附 中，作 比 U4 于求出/的 长；=A A=y 5,点 2因为A A i 阳，得 OEIBB、因为4 aL 平面/阿；所 以 比:因为 46=/0B=0C,得力照 所 以 8d平面4 4所以6 s组,所 以 L平 面 阳 G C又 A O=A 产-=1,口 A d 乖将心通二 当 如 图，分别以的,0 B,以所在直线为x,y,z轴，建立系，则 (1,0,0)*(0,2,0),。
0,-2,0),4(0,0,2),为(一1,2,2),由A E JAA；得点的坐标是60,|j,由(.1)得 平 面 圈 的 法 向 量 是 O E 0,|)空间直角坐标设平面4 8c的法向量=.(x,y,z),由“n A1B-0,得.-x+2y=0,n,Ay+z=0.tC =0,令 y=l,得 x=2,z=-1,即 A=(2,1,-1),所以 cos OE,n)I OE|n=近一 1 0，OE,n即平面/山C 与平面如G C 夹角的余弦值是书.由题悟法求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平.面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角以题试法3.(-山西模拟)如图，四棱锥S-2比77的底面是正方形，国，平/二2 点 是 57?上的点，且 庞=4 a(0 4 W l).(1)求 证：对任意的几e (0,1,都有ACLBE(2)若 二 面 角 的 大 小 为 60求 力 的 值.解：证 明：如图，建立空间直角坐标系D-xyz,则/(2 0,0,),C(0,&0),(0,0,0),(0,0,AC=(-a,a,0),BE=(一2 a,4 a),A d b E =0 对 任 意 4 G(0,1都成立，即 对 任 意 的A E面 A B CD,SD=(0,1 ,都有B(a,a,0),AC LBE.(2)显然n-(0,1,0)是平面/血的一个法向量,设平面/四的法向量为二(x,y,z),/AC 二(一 a,a,0),AE=(一 a,0,4乃)，m,AC=0,m,AE-0.一 ax+ay-0,-ax+4 dz=0,x-y=0,x-4 z=0.取 z=l,贝 Ijx=：.m-(A,A,1),二面角。
四-的大小为60,x n-/n A 1/.cos n,in)nr=/5=n m q i +22,R E(0,1,A=f用I解SSilll练要高效、o抓速度|抓规范|拒绝眼高手做|掌握程度A级全员必做题1.如图所示，在三棱柱A 8C-46K 中，掰 底 面/AB=BC=AAl,点E、尸分别是棱AB、6旦的中点，。