光学教程答案(第二章)

1. 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带求第 к 个带的半径若极点到观察点的距离 r0为 1m，单色光波长为 450nm，求此时第一半波带的半径解：202k而 20krk0rk0k将上式两边平方，得420202krrk略去 2项，则 0rk将 cm15c,1,-80rk带入上式，得m67.2. 平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小问：（1）小孔半径满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心4m 的 P 点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P 点最亮时，小孔直径应为多大？设此时的波长为 500nm解：（1）根据上题结论 0kr将 cm15c,40-r代入，得4.kkk当 k 为奇数时，P 点为极大值； k 为偶数时，P 点为极小值2）P 点最亮时，小孔的直径为cm28.01r3．波长为 500nm 的单色点光源离光阑 1m，光阑上有一个内外半径分别为 0.5mm 和 1mm的透光圆环，接收点 P 离光阑 1m，求 P 点的光强 I 与没有光阑时的光强度 I0之比。

解：根据题意 1R 5nm 1R 5.0 21hkhk0 r 有光阑时，由公式 rk)(0202 得 10105.162021 Rrkhk46202hk按圆孔里面套一个小圆屏幕13221312 aaaap 没有光阑时10所以 42/120aIp4．波长为 632.8nm 的平行光射向直径为 2.76mm 的圆孔，与孔相距 1m 处放一屏试问：（1）屏上正对圆孔中心的 P 点是亮点还是暗点？（2）要使 P 点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前或向后移动多少？解：（1） 点的亮暗取决于圆孔中包含的波代数是奇数还是偶数.当平行光如射时,波带数为3108.6326202 rdk故 P点为亮点.(2) 当 点向前移向圆孔时 ,相应的波带数增加;波带数增大到 4 时, P点变成暗点,此时, 点至圆孔的距离为750m18.6324620 kr则 P点移动的距离为2c-0c0r当 点向后移离圆孔时 ,波带数减少,减少为 2 时, P点也变成暗点。

与此对应的 到圆孔的距离为150m8.6321620  kr则 P点移动的距离为c-c500r５.一波带片由五个半波带组成.第一波带片为半径 r1 的不透明圆盘,第二半波带是半径r1 至 r2 的透明圆环,第三半波带是 r2 至 r3 的不透明圆环,第四半波带是 r3 至 r4 的透明圆环,第五半波带是 r4 至无穷大的不透明区域 ,已知 r1:r2： r3:r4=1: : : ,用波长 500nm 的平行单色光照明,最亮的像点在距波带片 1m 的轴上.试求:(1) r1; (2) 像点的光强; (3) 光强极大值出现在轴上哪些位置上.解：因为 5 个半波带组成的半波带片上, ,1K不透光; 212,r至透光;23rK至 3不透光; 34,r至 4透光; 45,r至无穷大不透光.::1:1r单色平行光 nm0 0R第一条最亮的像点在 10m0的轴上,即 131rf(1) 120rkRrfh70.51056301 (2) 像点的光强:242)(aaAIP所以 02164IaIp(3) 光强极大值出现在轴的位置是( 即L7,53ff)m1031rfQL m71 5 5132 fff6. 波长为 λ 的点光源经波带片成一个像点,该波带片有 100 个透明奇数半波带(1,3,5,……)。

另外 100 个不透明偶数半波带.比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时该像点的强度比 I:I0.解: 100 个奇数半波带通光总振幅aA10102)(I同样焦距和口径的透镜可划分为 200 个半波带通光总振幅为aA2101920220)10(4aI4)1(420I7. 平面光的波长为 480nm,垂直照射到宽度为 0.4mm 的狭缝上,会聚透镜的焦距为 60cm.分别计算当缝的两边到 P 点的相位为 π/2 和 π/6 时,P 点离焦点的距离.解：设 P 点离焦点的距离为 y，透镜的焦距为 f缝宽为 b，则位相差和光程差的关系式为 fyb2tansi2故 bfy2当缝的两边到 P 点的位相差为 2时，P 点离焦点的距离为m18.04.6108.2bfy当缝的两边到 P 点的位相差为时，P 点离焦点的距离为06.4.0218.2 bfy8. 白光形成的单缝衍射图样中,其中某一波长的第三个次最大值与波长为 600nm 的光波的第二个次最大值重合.求该光波的波长.解：由单缝衍射次最大值的位置公式可知21sin0kb得 3i所以 6.42875nm所以该光为紫色光.9. 波长为 546.1nm 的平行光垂直地射在 1mm 宽的缝上,若将焦距为 100cm 的透镜紧贴于缝的后面,并使光焦距到屏上,问衍射图样的中央到(1)第一最小值 ;(2)第一最大值;(3) 第三最小值的距离分别为多少?解: 根据单缝衍射图样的最小值位置的公式可知 :kfybbtansi得第一、第三最小值的位置分别为 m5461.0461.501  bfym38.3f由单缝衍射的其它最大值（即次最大）位置的近似式21sin00kfybk得 10. 钠光通过宽 0.2mm 的狭缝后,投射到与缝相距 300cm 的照相底片上.所得的第一最小值与第二最小值间的距离为 0.885cm,问钠光的波长为多少?若改用 X 射线( λ=0.1nm) 做此实验,问底片上这两个最小值之间的距离是多少?解：如果近似按夫琅和费单缝衍射处理，则根据公式 bkk21sin0得第二最小值与第一最小值之间的距离近似地为bfbfy212那么 nm59038.0f如果改用 c148时c10602.3bfy12. 一束平行白光垂直入射在每毫米 50 条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角 θ 之差为多少？(设可见光中最短的紫光波长为 400nm，最长的红光波长为 760nm)解：由光栅方程 jdsin得 241 108.302.67sin红所以 81 242 10.02.sind紫所以 9.2式中 m0.51d所以 rad1026318.29.312 13. 用可见光(760～400nm)照射光栅是，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？解：根据光栅方程 jdsin得 ,1j dnm760i1红2j， 82sin紫因为 > 1 所以 一级和二级不重叠.而 ,2j sin2dnm1520红,3j di3紫因为 < 2 所以二级和三级光谱部分交迭.设第 3 级紫光和第 2 级波长的光重合则 d紫1所以 nm604231紫设第 2 级红光和第 3 级波长为 2的光重合则 d红3所以 nm7.506322红综上,一级光谱与二级光谱不重叠;二级光谱的 n70~与三级光谱的nm7.506~4重叠.14. 用波长为 589nm 的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为 15°10'，求该光栅 1cm 内的缝数是多少？解: ）12,0(sinLQjd）条 /cm(210589851 7j15. 用每毫米内有 400 条刻痕的平面透射光栅观察波长为 589nm 的钠光谱。

试问：(1)光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？(2)光以 3角入射时,最多能观察到几级光谱?解: )1( 根据光栅方程 jdsin 得sind可见 j的最大值与 1的情况相对应( i真正等于 1 时,光就不能到达屏上).根据已知条件cm40d,并取 ,sin则得2.1058948j(此处 j只能取整数,分数无实际意义)即能得到最大为第四级的光谱线.(2) 根据平行光倾斜入射时的光栅方程 ),210()sin(0Ljd,可得)sin(0dj同样,取 ,1sin得4.60589)3(i48j即能得到最大为第六级的光谱线.16. 白光垂直照射到一个每毫米 250 条刻痕的透射光栅上，试问在衍射角为 30°处会出现哪些波长的光？其颜色如何？解: 由题意可知 毫 米条2501d30 760nmn9当 nm760时, 由公式 jsin得6.21076253si 6j当 n90时, 3sindj 1.509516所以 1.56.2j 这里 j可取 3, 4, 5当 3j时 nm672103si jd(为红色)当 4j时 jin5546(为绿色)当 5j时 jdsi n402106(为紫色)17. 用波长为 624nm 的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽 b 为 0.012mm，不透明部分的宽度 a 为 0.029mm，缝数 N 为 103 条。

求：(1) 单缝衍射图样的中央角宽度；(2) 单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？(3)谱线的半宽度为多少？解：（1）单缝衍射图样的中央角宽度 rad104.102.4622351 b(2) 单缝衍射图样包络下的范围内共有光谱级数由下列式子确定4.3012.bd式中 为光栅的光栅常数.所以看到的级数为 3.(3) 谱线的半角宽度的公式为: cosNd令 ）即 0(1cos rad1052.04.12653Nd＝18. NaCl 的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量 M=58.5，密度 ρ=2.17g/cm 3，(1) 试证明相邻两离子间的平均距离为2819.03AMnm式中 NA=6.02×1023/mol 为阿伏加德罗常数；（2）用 X 射线照射晶面时，第二级光谱的最大值在掠射角为 1°的方向上出现.试计算该 X 射线的波长 .解: (1) 晶胞的棱边为棱边长 d,由于每个晶胞包含四个 NaCl 分子,那么密度 ρ 为34dmVNaCl这里,NaCl 分子的质量由下式给出NMaCl所以晶胞的棱边由上面两式联立解得314d那么相邻两离子间的平均距离 0d为nm2819.07.12.65823330 NMd时 (2) 根据布喇格方程 jd0sin 在 j时n49.1i89.2i019 波长为 0.00147nm 的平行 X 射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为 0.28nm 问光线与界面成什么角度时，能观察到二级光谱。

解： Q jd0sin2 052.128.47i 90 '13.0光线与界面成 18′的角度时，能观察到二级光谱20 如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为 b，缝距分别为 d 和 2d，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为： )]6cos42(cos3[sin20 vvuI 式中 sin,sivbu。