第二十二章 一元二次方程一、教材内容一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．二、课标要求1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景,认识一元二次方程及其有关概念.2、根据化归思想,抓住降次这一策略,掌握配方法,公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法.3、经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学模型作用,进一步提高在实际问题中运用这种重要数学工具的基本能力.三、教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出、分析问题，建立一元二次方程数学模型，并用解决实际问题． 3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．四、教学重点与难点教学重点:1. 一元二次方程及其它有关的概念.2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3. 利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.教学难点:1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．五、课时划分 本单元教学时间约需13课时，具体分配如下： 22．1 一元二次方程 2课时 22．2 降次──解一元二次方程 5课时 22．3 实际问题与一元二次方程 3课时教学活动、习题课、小结 3课时22.1.1 《 一元二次方程 （1）》学案 课型： 上课时间： 课时： 学习目标：进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；2、正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
学习过程：一、自主学习：（一）、根据题意列方程： （1）有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无 盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?（2）我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度 .（3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？（二）、探索新知：（１）、问题：上述４个方程是不是一元一次方程？有何共同点？① ；② ；③ 2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是_____,只含有 ___个未知数，并且未知数的最高次数是___的方程叫做一元二次方程3）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 (a,b,c为常数， ）的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式为 ，为 ，为 。
三）、注意点： (1)一元二次方程必须满足三个条件：a ；b ； c 2)任何一个一元二次方程都可以化为一般形式： .二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号3)二次项系数是一个重要条件，不能漏掉，为什么？（四）、自我尝试：1、下列列方程中，哪些是关于 的一元二次方程？（1） （2） （3） （4） （5）2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1) (2) (3) （五）阅读课本，25页到27页，反思自主学习情况二、学生分小组交流解疑，教师点评升华三、巩固练习：课本27页练习1、2题四、课堂检测：1、下列方程中，是关于X的一元二次方程的是（ ）A. B. C. D.2、方程的一次项是（ ）A. B. C. D. 3、将方程化成一般形式为___________,它的二次项系数为_____，一次项系数为_____，常数项为______4、当a_______时，关于X的方程（a-1）x2+3x-5=0是一元二次方程。
22.1.2 《一元二次方程（2）》学案课型： 上课时间： 课时： 学习目标：1、会进行简单的一元二次方程的试解；2、理解方程的解的概念，发展有条理的思考与表达能力；3、会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义学习过程：一、自主学习：（一）复习引入：1、解方程，并说出方程解的定义：3x=2(x+5)2一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为_______m． 根据题意，得________． 整理，得_____ _ __．（二）探索新知：1．下面哪些数是上述方程的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．2、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 _____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_________的值3、判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解：(1) (－7,－6,－5, 5, 6, 7)(2) 4、你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？(1) (2) (3) （三）、注意点：1、使一元二次方程成立的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
2、由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解是否是实际问题的解四）、自我尝试：1、下列各未知数的值是方程的解的是（ ）A. B. C. D. 2、根据表格确定方程=0的解的范围____________x1.01.11.21.30.5-0.09-0.66-1.213、已知方程的一个根是1，则m的值是______（五）阅读课本，27页到28页，反思自主学习情况二、学生分小组交流解疑，教师点评升华三、巩固练习：课本28页练习1、2题四、课堂检测： 1、把化成一般形式是______________,二次项是____一次项系数是_______，常数项是_______2、一元二次方程的根是__________；方程x（x-1）=2的两根为________3、写出一个以为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1：__________4、已知m是方程的一个根，则代数式________5．若，则_____________6．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是 x1=______ x2=___7．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则=________8．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．9．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．10．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，则（a-b）2+4ab的值为 ．11、若关于X的一元二次方程的一个根是0，a的值是几？你能得出这个方程的其他根吗？22.2.1 《用直接开平方法解一元二次方程》学案课型： 上课时间： 课时： 学习目标：1、会用开平方法解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的方程；2、经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界的数学模型。
学习过程：一、自主学习（一）、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC中，∠B=90，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的 面积等于8cm2？（二）探索新知：1、36的平方根是________,的平方根是____________2、若，则=______________；若，则=__________3、请根据提示完成下面解题过程：(1) 由方程 ， 得 (2) 由方程 ， 得 =_______ (_________)=2即 ∴ ______________=_______ =____，=_____ 即 ____________, ____________∴ =_______, =_____ ∴ =_______, =_____（三）、归纳概括：1、形如或的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法。
2、如果方程能化成或的形式，那么可得，或3、用直接开平方法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程四）、自我尝试解下列方程：(1) (2) (3) (4) （五）阅读课本，35页到36页，反思自主学习情况二、学生分小组交流解疑，教师点评升华三、巩固练习：课本36页练习四、课堂检测：1、方程的根是（ ）A. B. C. 。