转化思想——以“最短路径”为例教学目标：1 .能利用轴对称解诀简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟 转化思想2 .能利用轴对称变换解诀日常生活中的实际问题3 .培养学生的探究、归纳、分析、解诀问题的能力4•进一步培养好奇心和探究心理，更进一步体会到数学来源于生活也应用与生活教学重点:能利用轴对称解决“最短路径问题”教学难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题教学工具:作图工具、黑板、粉笔、多媒体课件及作图工具教学过程：一、曲向直的转化例1. （2014福建莆田）如图，菱形ABCD的边长为4, NBAD=120点E是AB的 中点，点F是AC上的一动点，那么EF+BF的最小值是.分析：要求EF+BF的最小值，图中BF、EF长度不便于直接求出考虑到菱形ABCD是轴 对称图形，可以连接DF,那么DF=BF当D、F、E三点共线时，DF+EF最小，即EF+BF最 小在计算DE长度时，作DHJLAB,构造直角三角形，是重要的转化策略解：连接DB, DE,设DE交AC于M,连接MB, DF,延长BA,作DH_LBA于H・ ・•四边形ABCD是菱形，「・AC, BD互相垂直平分，・ ••点B关于AC的对称点为D,•・ FD二FB,・ ・・FE+FB=FE+FD2DE.只有当点F运动到点M时，EF+BF的值最小在4ABD 中，AD=AB, ZDAB=120°,AZHAD-600,VDH±AB,1V3・・・AH= -AD, DH=——AD,22「菱形ABCD的边长为4, E为AB.的中点,・・・AE=2, AH=2,，EH=4, DH= 2V3 ,在 RtZ^EHD 中，DeVeM + DH?二次+（2扬2 =对•••EF+BF的最小值为2J7.二、数向形的转化例2.当工取何值时，正+42 +J（8t）2+22有最小值？最小值是多少?分析：直接从代数式本身去考虑，存在着较大的困难。
我们仔细观察被开方数，都是平方和 的形式，可以考虑与勾股定理建立联系构造一个直角边长为无、4的直角三角形，那么其斜 边长为4r二7同样可构造一个直角边长为8-%、2的直角三角形，那么其斜边长为7（8-x）2+22 o得到如以下图形:由图1可知，当A、P、B三点共线时，PA+PB最小，即& +42 + J（8—幻2 +2?有最小值图2可以借助轴对称转化为图1解决此处，我们通过构造图形，将求代数式的最值问题转化为“最短线段”问题解决实现 从数到形的转化解：构造图形如图1所示当A、P、B三点共线时，PA+PB最小，即7%2+42+7（8-^）2+22图3那么△PAMs^PBN所以 解得户”，尤 2+42 +J（8 —幻2+22 =10即当x=u时，7Z不+而二于涯有最小值，最小值为io三、空间向平面的转化例3.（沪科版教材第26章复习题C1）如图是一个长方体A3CD-A田CQ ,它的长、宽、 高分别为b、c,且>b>c现有一只蜘蛛，在长方体的外表上从点A爬到点G 问蜘蛛应选择怎样的路径可使爬过的路程最短，最短路程是多少？分析：蜘蛛在长方体外表爬行，将该长方体外表展开，那么此问题转化为平面上最短路径问题。
每条棱的长度，借助勾股定理计算出最短路径实现从空间向平面的转化解：将长方体侧面展开，转化为平面图形，有以下三种不同情况：⑴（2）（3）图（1）中，AG = jM+s + .f =G+b2+c2+2bc图（2）中，= 折+3 + .）2 =4"+/”+2砒图（3）中，AC[=102+（〃+力2 =//+/+.2+2" 9： a>b>c/. bc< ac < ab・••图（1）中路程最短练习：1. （2014辽宁锦州）菱形ABCD的边长为2,乙钻£是AD边中点，点P是对角线BD上的动点，当AP+PE的值最小时，PC的长是.答案：-V3 o 解析：连接EC,与BD交于点P,连接AC,此时AP+EP=CP+EP=CE, 3值最小.丁 NADC=NABC = 60°,・・・ AACD为等边三角形，TE是AD中点，，DE=1,CE± AD,所以CE=B 因为四边形ABCD是菱形，所以NADB=30所以EP= —,3所以PC的长是2g 3（2014 广西贵港）如图，在 RtA ABC 中，ZACB=90°, AC=6, BC=8, AD 是/BAC的平分线.假设P, Q分别是AD和AC上的动点，那么PC+PQ的最小值是（）A.卫B. 4C.2D. 555答案：Co 解析：如图，过点C作CMLAB交AB于点M,交AD于点P,过点P作PQJ_AC于点Q,•「AD是NBAC的平分线.・・・PQ=PM,这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，VAC=6, BC=8, ZACB=90°,••• ab=VaC2+BC2=7 62 + 82= 10,•? Sa abc=』AB ・CM=1AC・BC, 22...Cm=AC・BC=6><8:%AB 10 5即PC+PQ的最小值为21.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，这时他正位于他的小屋B的西8km北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。
他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河解：如图，作出点A关于MN的对称点4, 在RtZSAQB中，由勾股定理求得解：如图，作出点A关于MN的对称点4, 在RtZSAQB中，由勾股定理求得连接48交MN于点P,那么A3就是最短路线NbVdaA+DB1 = J(7 + 4 + 4)2+8? =17 (km)答：他要完成这件事情所走的最短路程是17km3 .葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上， 它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线螺旋前进的，难道植物也懂数学？ 通过阅读以上信息，解决以下问题：(1)如果树干的周长(即图中圆柱体的底面周长)为30cm,绕一圈升高(即圆柱的高)40cm, 那么它爬行一圈的路程是多少？(2)如果树干的周长为80cm,绕一圈爬行100cm,它爬行10圈到达树顶，那么树干高多少？解：(1)如图，的周长为30cm,即AC=30cm 高是 40cm,那么 BA=40cm,BC = y/AC2 + AB2 = 50 CM故绕行一圈的路程是50cm；(2)如图，OO的周长为80cm,即AC=80cm绕一圈 100cm 那么 BC= 100cm,高 A8 二 y/BC2-AC2 = 60 cm•二树干高= 60x10 = 600cm=6m。