三年级奥数鸡兔同笼例题及答案page 1 of 13三年级奥数5-0 鸡兔同笼问题例题及答案 一、鸡兔同笼 这个问题， 是我国古代著名趣题之一大约在 1500 年前，孙子算经 中就记载了这个有趣的问题书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35 个头；从下面数，有94只脚求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想知道孙子算经中是如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤 解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了 47 只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1因此，脚的总只数47 与总头数 35 的差，就是兔子的只数，即473512-=（只）显然，鸡的只数就是351223-=（只）了 这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法” 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到 解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有： 鸡数=（每只兔子脚数鸡兔总数- 实际脚数）（每只兔子脚数- 每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数 - 鸡数 如果假设全是鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数 - 每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数- 每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数 - 兔数 当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2 倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2 倍 在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法 板块一、两个对象的“鸡兔同笼” 【例1】 鸡兔同笼，头共46，足共 128，鸡兔各几只？ 【解析】 假设 46只都是兔，一共应有446184=只脚，这和已知的128只脚相比多了 18412856-=只脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成 1只兔，就要比实际多422-=（只）脚，那么56 只脚是我们把56228 =只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28 ，兔的只数是462818-=（只）当然，这里我们也可以假设46 只全是鸡！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法 【巩固】 点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数， 它们共有 35 个头， 94 只脚 问：点点家养的鸡和兔各有多少只？ 【解析】 方法一：我们假设，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都是两条后腿，像人一 样用两只脚站着现在，地面上出现的脚是总数的一半，也就是94247 =( 只) 在 47这个数中，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，因此从47减去总头数35 ，剩下的就是兔子头数，473512-=( 只) ，所以有 12只兔子，有351223-=( 只) 鸡 方法二： 假设 35 只都是兔子， 那么就有 354140 =( 只) 脚， 比 94 只脚多了 1409446-=( 只) 每只鸡比兔子少422-=( 只) 脚，那么共有鸡46223 =( 只) 方法三：还可以假设35 只都是鸡，那么共有脚23570=( 只) ，比 94 只脚少了 947024-=( 只)脚，每只鸡比兔子少422-=( 只) 脚，那么共有兔子24212 =( 只) 方法一可以归结为：总脚数2 - 总头数 = 兔子数能够这样算，主要是利用了兔和鸡的脚数分别三年级奥数鸡兔同笼例题及答案page 2 of 13为 4和 2，而且 4 是 2的 2倍 方法二说明假设的35 只兔子中有23只不是兔子，而是鸡由此可以列出公式： 鸡数 = ( 兔脚数 总头数 - 总脚数) ( 兔脚数 - 鸡脚数 ) 方法三说明假设的35 只鸡中有 12只是兔由此可以列出公式： 兔数 = ( 总脚数 - 鸡脚数 总头数) ( 兔脚数 - 鸡脚数 ) 【巩固】 鸡兔共有 45 只，关在同一个笼子中每只鸡有两条腿， 每只兔子有四条腿， 笼中共有 100条腿试计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？【解析】 假设法：若假设所有的45 只动物都是兔子，那么一共应该有445180=( 条) 腿，比实际多算18010080-=( 条) 腿而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有80240 =( 只) 鸡被当作了兔子，所以共有40只鸡，有 45405-=( 只) 兔子 注意：假设为兔子时，按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目；假设为鸡时，按照“少算的腿数”计算出的是兔子的数目同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法 “金鸡独立”法（砍足法）： 假设所有的动物都只用一半的腿站立，这样就出现了鸡都变成了“金鸡独立”，而兔子们都只用两条腿站立的“奇观” 这样就有一个好处：鸡的腿数和头数一样多了；而每只兔子的腿数则会比头数多1因此，在腿的数目都变成原来的一半的时候，腿数比头数多多少，就有多少只兔子原来有100只腿，让兔子都抬起两只腿，鸡抬起一只腿，则此时笼中有100250 =( 条)腿，比头数多50455-=，所以有 5 只兔子，另外40 只是鸡 【巩固】 动物园里有一群鸵鸟和大象, 它们共有36只眼睛和 52 只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？ 【解析】 由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象的总数为：36218 =，假设鸵鸟和大象一样也有4 只脚，则应该有(418)72=只脚，多了(7252)20-=只脚，由假设引起的差值：422-=，则鸵鸟数为20210 =（只），大象数为 18108-=（头） 【巩固】 鸡兔同笼，上有35头，下有 94足，求笼中鸡兔各几只？ 【解析】 有兔 (94352)(42)12-= ( 只) ，有鸡 351223-= ( 只) 【例2】 动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20 只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？ 【解析】 假 设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的20 只的脚数得：208202168- =( 只) 这 168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数( 注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同) 脚数的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：246+=( 只) ，所以梅花鹿的只数是：168628 =( 只) ，从而鸵鸟的只数是：282048+=( 只) （本题也可给学生讲成“捆绑法”，一鸡一兔一组，这个怎么分组时有倍数关系得到的） 【巩固】 一个养殖园内，鸡比兔多36 只，共有脚792 只，鸡兔各几只？ 【解析】 已知鸡比兔多36 只，如果把多的36 只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36 只鸡有23672=（只）脚，可知现在剩下79272720-=（只）脚，一只鸡与一只兔有6 只脚，那么兔有 7206120 =（只） ，鸡有 12036156+=（只）【巩固】 鸡兔同笼，鸡、兔共有107 只，兔的脚数比鸡的脚数多56 只，问鸡、兔各多少只？ 【解析】 这道例题和前面的例题有所不同，前面的题是已知头数之和和脚数之和求各有几只，而这道题是已知头数之和和脚数之差，这样就比前面的例题增加了一点难度我们用两种方法来解这道题（方法一）考虑如果补上鸡脚少的56 只的话，那么就要增加56228 =（只）鸡这样一来，鸡、兔共有 10728135+=（只） ，这时鸡脚、兔脚一样多 已知一只鸡的脚数是一只兔的一半，而现在鸡脚、兔脚相同，可知鸡的只数是兔的2 倍，根据和三年级奥数鸡兔同笼例题及答案page 3 of 13倍问题有： 兔有： 135(21)45+=（只） 鸡有： 135452862-=（只）或者 1074562-=（只） （方法二）不妨假设107 只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：1074428 =（只），而鸡的脚数为零这样兔脚比鸡脚多428只，而实际上只多56 只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：42856372-=（只）现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少4 只，鸡脚增加2 只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少426+=（只） 鸡的只数：372662 =（只） 兔的只数： 1076245-=（只） 【巩固】 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20 只. 问：鸡、兔各多少只 ? 【解析】 假设 100 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200 只，而兔的脚数为零 . 这样鸡脚比兔脚多200 只，而实际上只多20 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多20020180-=( 只). 现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2 只，兔脚增加4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426+=( 只) ，而 180630 =，因此有兔子30 只，鸡 1003070-=( 只). 【巩固】 鸡、兔共 60 只，鸡脚比兔脚多60只问：鸡、兔各多少只？ 【解析】 假设 60 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多60 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多1206060-=( 只) 现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2 只，兔脚增加4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426+=( 只) ，而 60610 =，因此有兔子10 只，鸡 601050-=( 只) 【巩固】 鸡、兔同笼，鸡比兔多26 只，足数共274 只，问鸡、兔各几只？ 【解析】 这道例题是已知鸡、兔的脚数和，鸡比兔多的只数，求鸡、兔各几只我们假设鸡与兔只数一样多，那么现在它们的足数一共有：274226222-=（只），每一对鸡、 兔共有足： 246+=（只），鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）： 222637 =（对） ，则鸡有372663+=（只） 【巩固】 鸡与兔共100 只, 鸡的脚数比兔的脚数少28. 问鸡与兔各几只 ？ 【解析】 解 一: 假如再补上28 只鸡脚 , 也就是再有鸡282=14(只), 鸡与兔脚数就相等 , 兔的脚是鸡的脚42=2(倍), 于是鸡的只数是兔的只数的2 倍. 兔的只数是 (100+282)(2+1)=38( 只). 鸡是 100-38=62(只). 当然也可以去掉兔284=7(只). 兔的只数是 (100-28 4)(2+1)+7=38( 只). 也可以用任意假设一个数的办法. 解二: 假设有50 只鸡, 就有兔100-50=50(只). 此时脚数之差是 450-250=100, 比28 多了 72. 就说明假设的兔数多了 ( 鸡数少了 ). 为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡 , 少了4 只兔脚 , 多了2 只鸡脚 , 相差为6 只( 千万注意 , 不是2). 因此要减少的兔数是 (100-28) (4+2)=12( 只). 兔只数是 50-12=38( 只). 【例3】 在一个停车场上，现有车辆 41辆，其中汽车有4 个轮子， 摩托车有 3个轮子， 这些车共有 127 个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？ 【分析】 假设都是三轮摩托车，应有341123=( 个) 轮子，少了1271234-=( 个) 轮子每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少431-=( 个) 轮子汽车有414 =( 辆) ；从而求出三轮摩托车有41437-=( 辆) 或者假设都是汽车，应有441164=( 个) 轮子，多了 16412737-=( 个) 轮子； 所以摩托车有37(43)37-=( 辆) 三年级奥数鸡兔同笼例题及答案page 4 of 13【巩固】 体育老师买了运动服上衣和裤子共21 件，共用了439 元，其中上衣每件24元、裤子每件19元，问老师买上衣和裤子各多少件？ 【解析】 假设买的都是上衣，那么裤子的件数为：(2421439)(2419)13-=（件） ， 上衣： 21138-=（件） 【巩固】 小建和小雷做仰卧起坐，小建先做了3分钟，然后两人各做了5 分钟，一共做仰卧起坐136次已知每分钟小建比小雷平均多做4 次，那么小建比小雷多做了多少次？ 【解析】 假 设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多，这样两人。