关于《圆》的知识结构整理一．主要定理及其作用：1．圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,如果①两个圆心角②两条弧,③两条弦④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等：（等弧---等角---等弦……） 用的最多的依据：①在同圆或等圆中,如果两个圆心角相等,那么它们所对的两条弧相等②等弧所对的圆心角相等：③在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的两条弧相等④等弧所对的两条弦相等2．垂径定理:如果一条直线①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. （直角三角形---等弧……）用的最多的依据：①垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧②平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.③一条弦的垂直平分线||经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧④平分弧的直径过圆心的直线垂直平分这条弧所对的弦.3．圆周角定理:(1)直径所对的圆周角是直角；(2)90°的圆周角所对的弦是直径3)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(4)同弧所对的圆周角相等；(5)等弧所对的圆周角相等；(6)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；（等弧---等角---直角三角形）4．切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径（直径）。
(垂直关系)5．切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线6．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 （等弦---等弧---等角）7．相切和相交两圆的性质定理：如果两圆相切，连心线必过切点如果两圆相交，连心线垂直平分公共弦二．主要辅助线及其作用：1．作弦心距：弦的中点．弧的中点2．过某一点作弦：构造相等的圆周角3．作直径：构造直角三角形和同弧所对的圆周角4．连结过切点的半径：“题中若有圆切线圆心切点连一连”5．两圆相切和两圆相交时，作连心线和公共弦三．基本图形和基本结论：1．等边三角形的内切圆半径．外接圆的半径和高的比为 2．△ABC中，点O．I分别为外心和内心，那么∠A与∠BOC． ∠BIC之间的关系3．如果三角形的内切圆的半径为r，周长为c，试用r．c的代数式表示这个三角形的面积.4．圆的外切四边形的两组对边的和相等． 5．直角三角形的两直角边和斜边分别是a，b，c 则其内切圆的半径为______6.圆的内接四边形的对角互补.7．圆的外切四边形的两组对边的和相等． 8．圆的内接平行四边形一定是矩形;圆的外切平行四边形一定是菱形．9．圆的内接梯形一定是等腰梯形．10．弧长的计算公式和扇形面积的计算公式.11．圆柱和圆锥的侧面展开计算.四．与圆有关的两解问题集中训练题： 1、圆中同弦（或等弦）所对圆周角是两个. 2、已知弦长、半径，求弓高.3、同圆内，两平行弦间的距离. 4、已知圆外一点为圆心，作与已知圆相切的圆.5、已知圆内一点为圆心，作与已知圆内切的圆.6、两圆相交，求圆心距．上述内容的练习题：1．如果圆O的弦AB将圆分成 1:3两部分，则该弦所对的圆心角是 度。
2．已知一弓形半径为5，弓形的弦长6，则弓形高为 3． 在半径为5cm的⊙O中，两条平行弦长分别为6cm、8cm，两条平行弦之间距离是 4．⊙O的半径为6，点Ｍ是⊙O 内一点，OM＝４，若以点Ｍ为圆心的⊙M与⊙O内切，则⊙M的半径为 ．5．⊙O的半径为6，点Ｍ是⊙O 外一点，ＯM＝10，若以点Ｍ为圆心的⊙M与⊙O相切，则⊙M的半径是 .6．若两圆半径分别为R、r（ R＞r ），圆心距为d，且R ²+d²=r²+2Rd，则两圆的位置关系是 .7.已知相交两圆的半径分别是5和4，公共弦长为6，则它们的圆心距是 .8.若两个同心圆半径分别为6、2，那么与它们都相切的圆的半径是 .9.已知相交两圆的半径分别是5和4，公共弦长为6，则它们重合部分的面积是 .五．作图题：1．如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条过点M的最短弦AB. 2．平分已知弧.3．找出残破车轮的圆心4.作出△ABC的内切圆5. 作出△ABC的外接圆六、解答题：1．AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C的切线互相垂直，垂足为D. 求证:AC平分∠DAB.2．已知：AB是⊙O的直径，过⊙O外一点C作⊙O的切线，切点分别为B，D . 求证： OC//AD4．已知:OA是⊙O的半径, OC⊥OA,且交弦AB于D,BC=DC. 求证:BC是⊙O的切线.5．△ ABC中, AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D, 过D作DE⊥AC于E。
求证：DE是⊙O的切线6．已知：A．B．C三点在圆O上，AD是△ABC的高，AE是圆O的直径．求证： AB·AC=AE·AD 基础知识练习011．所示，已知：AB和CE为圆O的两条直径，弦CD// A B, COD=,则BOE= . 2．已知⊙O的半径为R，则长度为πR的弧所对的圆周角是 .3．在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 9，BC = 12，则某外接圆的半径为 .4．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为 ．5．已知：⊙和⊙的半径分别为5cm和3cm，两圆的圆心距是9cm，则两圆的位置关系是 ．6．如图，OAB是以6cm为半径的扇形，AC切弧AB于点A交OB的延长线于点C,如果弧AB的长等于3cm,AC=4cm,则图中阴影部分的面积为 cm２．7．圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是 度．8．已知圆中一弦将圆分为1 ：2的两条弧，则这条弦所对的圆周角为 度．9．一条弦有弦心距的长等于它所在圆的直径的,则这条弦所对劣弧的度数是 度． 10．弓形的弦长为4cm，高为2 cm，则它的弧所在圆的半径为 cm．11． 如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在上,则∠BEC=_______°12．在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如右图所示，如果油面AB＝8cm，那么油的最大深度是 cm.13．如图，在△ABC中，∠A=68°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为 13题14．如图(5),A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦BC ∥OA,连结AC,（第15题）则图中阴影部分的面积为_________15．如图，点是⊙O上两点，，点是⊙O上的动点（与不重合），连结，过点分别作于，于，则 16．如图，点P的坐标为（4,0), OP的半径为5，且OP与x轴交于点A,B，与y轴交于点 C,D, 试求出点A ,B,C,D的坐标． 基础知识练习021．弓形的弦长为4cm，高为2 cm，则它的弧所在圆的半径为 cm．2．若面积为54的扇形的半径为18cm，则该扇形的圆心角的度数是 ．3．相切两圆圆心距为7．5cm,一个圆的半径为4cm,则另一个圆的半径是 cm．．4．在半径为12cm的圆中，一条弧长为cm，此弧所对的圆周角是 ．5．如图, ⊙O的半径是5cm,P是⊙O外一点,PO=8cm,∠P=30º,则AB= cm,PB= cm．6．如图, ⊙O中弦AB⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点． ⑴若AB=AC,则四边形OEAD是 形; ⑵若OD=3,半径,则AB= cm， AC= cm．7．如图,在△ABC中,AB=AC, ∠B=50º, ⊙A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则∠AED= º （5题） （6题） （7题） 8．两同心圆中，大圆的弦AB切小圆于C点，且AB=20cm,则夹在两圆间的圆环面积是．9．如图，AB是半圆O的直径，AC=AD,OC=2, ∠CAB=300，则点O到CD的距离OE= ．10．如图,在同心圆⊙O中,AB是大圆的直径,AC是大圆的弦,AC与小圆相切于点D,若小圆的半径为3cm,则BC= cm．11．如图, ⊙与⊙相交于点A．B,且是⊙的切线, 是⊙的切线,A是切点．若⊙与⊙的半径分别为3和4,则公共弦AB的长为 cm． （9题） （10题） （11题）12．如图(4),⊙O是△ABC的外接圆,AD是BC边上的高,已知BD=8,CD=3,AD=6, 则直径AM的长为________． 13．⊙O的半径为，AB是⊙O的直径，半径CO⊥AB,P为CO的中点，弦BD过点P， 则BD= . （12题） （13题）14．如图所示,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PN=4米时是否要采取紧急措施?10。