1 中考数学模型 36 定角夹定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC 外一点 A，A 到直线 BC 距离为定值（定高）， BAC 为定角则AD 有最小值又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型我们可以先看一下下面这张动图，在三角形ABC 当中， BAC 是一个定角，过 A 点作 BC 边的高线，交BC 边与 D 点，高 AD 为定值从动态图中（如图定角定高1.gsp）我们可以看到，如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC 的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A 点的运动而发生变化的 从而弦 BC 的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD 是定值， 因此三角形ABC的面积就有一个最小值我们可以先猜想一下，AD 过圆心的时候，这个外接圆是最小的，也就是，BC 的长是最小的，从而三角形 ABC 的面积也是最小的定长可用圆处理，特别，定长作为高可用两条平行线处理）那么该如何证明呢？首先我们连接OA,OB,OC 过 O 点作 OH BC 于 H 点 .（如图 1）显然 OA+OH AD ，当且仅当A,O,D 三点共线时取“=” 由于 BAC 的大小是一个定值，而且它是圆o 的圆周角，因此它所对的圆心角AOB 的度数，也是一个定值。
因此 OH 和圆 O 的半径， 有一个固定关系，所以， OA+OH也和 ? 的半径，有一个固定的等量关系再根据我们刚才说的，OA+OH AD，就可以求得圆O半径的最小值简证： OA+OH ADOEDH 为矩形， OH=ED ，在 Rt AOE 中， AOAE ， AO+OH=AO+EDAE+ED=AD下面我们根据一道例题来说明它的应用例：如图，在四边形ABCD 中， AB=AD=CD=4，AD BC ， B=60 ，点 E、F 分别为边BC、CD 上的两个动点，且EAF=60 ，则 AEF 的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由简答】图中有角含半角模型，因此我们想到旋转的方式来处理.将 ADF 绕 A 点顺时针旋转120， 得 ABF ， 则 EAF =60，易证 AEF AEF ，作 AEF 的外接圆 O，作 OH BC于点 H， AGBC 于点 G， 则 F OH=60 ， AG=? = ? ? ，设 O 的半径为r，则 OH=?=?.? + ? ? ， ? +? ? ，? ? ? FAE=FAE=?FOE=60 FE= ?FCBDAEGHOFFCBDAEODCAB2 ?= ?=?=? ? ? ? AEF 的面积最小值为?以下是两到相关的针对练习题，大家学习完以后可以去自主的完成一项，后面也有详细的解答过程，做完以后大家可以对照一下答案，学会了这种类型题的解法。
解题步骤：1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用 r 表示圆心到底边距离及底边长；2.根据“半径 +弦心距 定高”求r 的取值范围；3.用 r 表示定角定高三角形面积，用r 取值范围求面积最小值针对练习】1.（1）如图 1，在 ABC 中， ACB=60 ， CD 为 AB 边上的高，若CD=4 ，试判断 ABC 的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积最小值；若不存在，请说明理由.（ 2）如图 2，某园林单位要设计把四边形花圃划分为几个区域种植不同花草在四边形ABCD 中，BAD=45 ， B= D=90， CB=CD=6 2，点 E、F 分别为边AB、 AD 上的点，若保持CE CF，那么四边形 AECF 的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由 1）解：如图1-1作 ABC 的外接圆 ? ，连 OA 、OB、OC ，作 OH AB 于 H设 ? 半径为 r，则 OH=? =? ，AB=2AH=2 ? = ? CO+HO CD 即 r+?4 得 r?=? ? =? ? ?= ? ? ? ?=? ?（ 2）分析：此处求面积最大值，而定角定高一般求面积最小值。
由于：?四边形 ?= ?四边形 ?- ?- ?=? ?+ ? -（?+ ?）因此，只要 ?+ ?最小， ?四边形 ?面积最大图1BDCA图 2EBDCAF3 解：如图1-2 所示在 AB 上找一点 H ， 使 AH=HC 延长 AB 至 G， 使 BG=FD ，连 CG ，作 CEG 的外接圆 ?证 AC 为BAD 平分线求 ?四边形 ?面积 CHB=45 ，AH=CH= ?= ?HB=BC= ? ? AB=12+ ? ?四边形 ?= ?= ? ? = ? ?=(? + ? ?)? ?= ? ?+ ? CDF CBG，则 ?+ ?=?求 ?+ ?= ?最小面积ECG=135 -90=45定角， CB= ? ? 定高 .设 ? 的半径为r ，则 EK=OK= ? =? ，EG=2EK= ? .CO+OK ? 即 r+ ? ? ? r ? ?- ? .?=? ? =? ? ? = ? ? ? -?求 ?四边形 ?的最大值四边形 ?= ?四边形 ?- ?- ?=? ?+ ? -（?+ ?）= ? ?+ ? - ? ? ?+ ? -(? ?- ?) = ?2.已知等边 ABC，点 P 是其内部一个动点，且 AP=10，M 、N 分别是 AB 、AC 边上的两个动点，求 PMN周长最小时，四边形AMPN 面积的最大值.分析： PMN 最小值即将军饮马问题。
如图2-1四边形 AMPN 面积该如何表示？如图 2-2AP=10 ，则 P 在以 A 为圆心 10 为半径的圆上由轴对称性可知，?= ?，?= ?四边形 ?= ?+ ?= ?+ ?=?-?CABP4 ?=? ?=?(?) ?( ?) = ?= ? ?只要 ?最小，则 ?四边形 ?最大?最小，且 MAN=60 定值， AD=?=? = ? 定值，即定角定高问题解：求 PMN 周长最小作P 关于 AB 的对称点 ?，作 P 关 AC 的对称点 ?，连 ?此时， PMN周长即为最小（两点之间线段最短）四边形AMPN 面积表达式连?、?，过 A 作 AD? ?= ?， ?= ?，? = ?+ ?= ? ?+ ?= ?+ ?= ?= ? ?= ?+ ?+ ?= ? 又? = ?= ?= ?= ?= ? AD=?= ? ?= ?= ?= ? ?= ?= ? ?=? ?= ? ?四边形 ?= ?- ?= ? ? - ?当 ?最小时， ?四边形 ?最大求 ?的最小值如图2-3作 AMN 的外接圆 ? ，连 OA 、OM 、ON ，作 OH MN 于 H .设 ? 的半径为r ，则 OH=?=? ，?= ? = ? ?= ? .AO+OH ? ，即 ? +? ，r? .?=? ?=? ? =? ? ? ?四边形 ?= ?- ?= ? ? - ? ? ?-? ?=? ?四边形AMPN 面积最大值为? ?这就是我们所说的定价定高类隐形圆的处理方法。
相对来说难度还是比较大的，这类题通常会作为中考压轴题出现，如果没有学习过解题方法的话，自己是很难想出来它的做法，希望同学们下去以后多加练习只要方法掌握了以后，其实也是很容易拿到满分的同类配题】1.如图 3，四边形 ABCD 中，AB=AD=4 ? ， B=45 ， D=135 ，点 E，F 分别是射线CB 、CD 上的动点，并且 EAF= C=60 ，求 AEF 的面积的最小值.5 2.如图 4，四边形ABCD 中， A=135 ， B=60， D=120 ， AD=5 ， AB=6 ， E、 F 分别为边BC 及射线CD 上的动点， EAF=45 ，求 AEF面积的最小值.3.如图 5， 四边形 ABCD 中， B=D=60 ， C=90 ， AD=2AB=2 ， M 、 N 分别在直线BC 、 CD 边上， MAN=60 ，求 AMN 面积最小值 .4.如图 6，四边形ABCD 边长为 6 的菱形，其中， ? = ?，E、F 分别在射线AB 、BC 上， EDF=90 ，求 EDF 面积的最小值.。