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1、,等腰三角形的性质,人教版八年级上册,动手做一做,ABC有什么特点?,看一看,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.,等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角， 腰和底边的夹角叫做底角.,底边,概念,1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是 ； 2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周是 ； 3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。,10 cm,10 cm 或 11 cm,19 cm,等腰三角形是轴对称图形吗？,是,等腰三角形是轴对称图形， 对称轴是顶角平分线所在的直线。,A,C,B,D,ABAC,BDCD,AD
2、AD,B C.,BAD CAD,ADB ADC,等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?,大胆猜想,活动2:探索等腰三角形性质 上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗? 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折,找出其中相等的线段和角,填入下表,AB,AC,B,D,等腰三角形性质1: 等腰三角形的两个底角相等 (等边对等角) 。,证明性质1:等腰三角形的两个底角相等 (等边对等角) 。,已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C,分析：1.如何证明两个角相等？,2.如何构造两个全等的三角形？,证明:在ABC中,AB=AC,作底边 BC的中线AD, 在 BAD 与 CAD 中 AB=_
3、BD=_ AD=_ BAD CAD( ) B= _,AC,C,CD,AD,SSS,提问:这性质的条件和结论是什么?用数学符号如何表达条件和结论?,活动3:等腰三角形性质定理的证明,猜想与论证,等腰三角形的两个底角相等。,已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C,分析：1.如何证明两个角相等？,2.如何构造两个全等的三角形？,D,作ABC的中线AD，交底边BC于D。,探究：已知AB=AC怎样证明B = C ？,寻找理论的支撑,探 索 与 证 明,D,作ABC的高AD，垂直底边BC于D。,D,1,2,作顶角的平分线AD.,则有12,D,1,2,在ABD和ACD中,证明: 作顶角的平分线AD，,AB
4、AC,12,ADAD,（公共边）, ABD ACD,（SAS）, BC,（全等三角形对应角相等）,方法一,则有 BDCD,D,在ABD和ACD中,证明: 作ABC 的中线AD,ABAC,BDCD,ADAD,（公共边）, ABD ACD,（SSS）, BC,（全等三角形对应角相等）,方法二,则有 ADBADC 90,D,在RtABD和RtACD中,证明: 作ABC 的高线AD,ABAC,ADAD,（公共边）, RtABDRtACD,（HL）, BC,（全等三角形对应角相等）,方法三,你能发现等腰三角形有什么性质吗?说一说你的猜想.,性质1：等腰三角形的两底角相等。（简写成“等边对等角” ）,用符
5、号语言表示为：,已知,等边对等角, AC=AB（ ） B=C （ ）,等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为_ _； 等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为_； 等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为_ _。,75, 30,70,40或55,55,35,35,小试牛刀,例1.如图,在 ABC中, AB = AC A = 50 求 B , C的度数,解 在 ABC中, AB = AC, B= C, A+B+C=180，=50, B=C=1/2（180- A） = 1/2 （180- 50）=65,(等边对等角),等腰三角形性质的应用,变式练习1:已知：在ABC中，AB = AC， A
6、= 50， 求B 和 C的度数。,B,A,变式练习2:已知：等腰三角形的一个内角为 50 ， 求另两个角的度数.,想一想:,刚才的证明除了能得到BC 你还能发现什么?,A,B,D,C,ABAC,BDCD,ADAD,B C.,BAD CAD,ADB ADC,=90,你能发现等腰三角形有什么性质吗?说一说你的猜想.,性质：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。 （简称 ）,三线合一,在ABC中，AB =AC, 点 D在BC上 1、AD BC = ，_= 。 2、AD是中线， ， = 。 3、AD是角平分线， ， = 。,1,1,2,BD,DC,AD,BC,1,2,AD,BC,
7、BD,DC,用符号语言表示为：,等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的中线(顶角平分线,底边上的高)所在直线,例1.在ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求 ABC各角的度数,A,B,C,D,2,2,2,例1.在ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求 ABC各角的度数,例1.在ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求 ABC各角的度数,解:AB=AC,BD=BC=AD, ABC= C= BDC A= ADD(等边对等角),在 ABC中,有 A+ ABC+ C=180 x+2x+2x=180. 解得x=36 在 ABC中, A=36 ,
8、ABC= C=72,设A=x,则 BDC= A+ ABD=2x, ABC= C= BDC=2x,练习2： ABC是等腰直角三角形（AB=AC， BAC=90），AD是底边BC上的高，标出 B， C， BAD， DAC的度数，图中有哪些相等的线段？,练习3：在 ABC中，AB=AD=DC， BAD=26，求 B和 C的度数,P77练习,练习1:小试牛刀 如图（1）在等腰ABC中， AB =AC, A = 36,则B =C=,变式练习： 1、如图（2）在等ABC腰中，A = 50, 则B =，C= 2、如图（3）在等ABC腰中，A = 120则B =，C=,活动5:反馈练习,36,36,65,65
9、,30,30,等腰三角形一个底角为70,它的顶角为_.,等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为 _.,等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为_., 顶角+2底角=180, 顶角=1802底角, 底角=（180顶角）2,0顶角180 0底角90,结论:在等腰三角形中,40 ,35 ，35 ,70,40或55,55,4. 根据等腰三角形性质定理的推论,在ABC中， AB=AC时，,(1) ADBC，_ = _，_= _.,(2) AD是中线，_ ，_ =_.,(3) AD是角平分线，_ _ ，_ =_.,BAD,CAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BD,BAD,BC,AD,CD,已知：如
10、图， ABC中， ABC=50 , ACB=80 ,延长CB至D,使BD=BA,延长BC至E,使CE=CA .连结AD、AE. 求D、E、DAE的度数 .,A,B,C,D,E,谈谈你的收获！,轴对称图形,两个底角相等，简称“等边对等角”,顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高 互相重合，简称“三线合 一”,等腰三角形,小 结,作业,1号本 P81 1，4, 7, 14 新课程p64, p65,感谢指导！,第二课时,一、等腰三角形腰长、底边长问题,1.等腰三角形周长21，其中一边长9，则腰长_. 2.已知等腰三角形两边长为5cm,10cm,则周长_cm,9或6,25,多角度，勤思考,二、等腰三角
11、形顶角、底角计算问题,1.等腰三角形一内角为50，则其他两个角 2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40,则顶角是_,50和 80或65和 65,50或130,多角度，勤思考,性质1 : 等腰三角形的两个底角相等,（简称“等边对等角”，前提是在同一个三角形中。）,性质2 : 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。,（简称“三线合一”，前提是在同一个等腰三角形中。）,二、等腰三角形的性质：,1、等腰三角形的 相等，简写为,2、等腰三角形的 互相重合，简写 成,两个底角,等边对等角,顶角平分线,底边上的中线,底边上的高,等腰三角形三线合一,3、等腰三角形是 图形，对称轴是
12、 所在的直线。,轴对称,三、等腰三角形的判定,1、有两边相等的三角形是等腰三角形,顶角平分线,底边上的高,D,底边上的中线,顶角平分线,复习性质与判定,关于建筑的问题,已知：如图，房屋的顶角BAC=100，过屋顶A的立柱ADBC，屋椽AB=AC, 求顶架上B、C、BAD、CAD的度数.,解：在ABC中，,AB=AC（已知）,B=C（等边对等角）,B=C= (180A),=40(三角形内角和定理),又ADBC（已知）,BAD=CAD（三线合一）,BAD=CAD=50,从理论到实践,关于撑伞的数学问题,已知：如图，AB=AC，DB=DC,问：AD与BC有什么关系？,猜想：AD垂直平分BC,证明:
13、在 ABD和ACD中 AB=AC, BD=CD, AD=CD,ABDACD(SSS),BAD=CAD,AD垂直平分BC,从理论到实践,例1如图，A=D=90,AB=CD，AC与BD相交于点F，E是BC的中点. 求证：BFE=CFE.,证明：,在ABF和DCF中 1=2,（对顶角相等）,A=D=90,AB=CD,ABFDCF,（AAS）,BF=CF, BCF是等腰三角形.,又 E是BC的中点，,EF是BFC的角平分线., BFE=CFE.,( ),三线合一,例2如图：ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。 求证：AH=2BD,证明：AB=AC,AD是高, BC=2BD,又BE是高， ADC=BEC=AEH=90,在AEH和BEC中,AEHBEC(ASA),1+C=2+C=90 1=2,AH=BC,AH=2BD,等腰三角形一腰上中线把周长分成21cm,12cm,两部分,那么腰长是多少?,x,x,2x,y,几何题，方程解,2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30,则顶角是_,几何题，方程解,第3课时,(1)等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗? 如图,DEAB,DFAC,垂足分别为E
