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1、,读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.,图1-1,图1-2,信阳市一中 吕 春,教学目标,探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理的运用思想，发展几何思维。,经历观察与发现直角三角形三边关系的 过程，感受勾股定理的应用意识。,培养严谨的数学学习的态度，体会勾股定理的应用价值。,两千多年前，古希腊有个哥拉,斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此,在国外人们通常称勾
2、股定理为毕达哥拉斯,年希腊曾经发行了一枚纪念票。,定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955,勾 股 世 界,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前,两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。,我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果
3、勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中。,在西方，希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前三百年左右）在编著几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。,毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。,相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，又有“百牛定理”之称。,史话勾股定理,在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作周髀算经中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“故折矩，勾广三，股修四
4、，经隅五。”即：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。故称之为“勾股定理”或“商高定理”,史话勾股定理,毕达哥拉斯 (公元前572-前492年), 古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。,相传在2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系，我们一起来观察图中的地面，看看能发现什么。,A、B、C的面积有什么关系？,直角三角形三边有什么关系？,把C分“割”成若干个直角边为整数的三角形,（单位面积）,1.让我们一起探究：等腰直角三角形三边关系,（单位面积）
5、,把C“补” 成边长为6的正方形面积的一半,SA+SB=SC,4,4,8,两直角边的平方和 等于斜边的平方,9,9,18,因此可知等腰直角三角形有这样的性质：,对于任意直角三角形都有这样的性质吗？,两直角边的平方和等于斜边的平方,看下图,2让我们一起探究：一般直角三角形三边关系：,16,9,25,4,9,13,做 一 做,你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流交流,3三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？,SA+SB=SC,即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积,议 一 议,a,c,b,设：直角三角形的三边长分别是a、b、c,结论:两直角边a、b与斜边c 之间的关系是：,a2
6、+b2=c2,SA+SB=SC,a,b,c,结论变形,(4),(3),(2),(1),(a-b)2,(a-b)2,a2+b22ab = c22ab,b,C,a,想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？,证法一 赵爽弦图,大正方形的面积该怎样表示?,(a+b)2,=,a2 + b2 + 2ab = c2+2ab,可得: a2 + b2 = c2,证法二,在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲
7、尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别是和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为和，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定等于5的平方加上7的平方”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。,证 法 3,美国总统的证明
8、,加菲尔德 （James A. Garfield； 1831 1881）,1881 年成为美国第 20 任总统 1876 年提出有关证明,(a + b)(b + a) = + a2 a2 + b2 = c2,a,a,b,b,c,c,伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。,c2,+ 2( ),+ ab,c2,=,+ b2,ab,ab, a2 + b2 =
9、c2,a2,b2,a2,c2,毕达哥拉斯证法,证 法 4：,8,15,A,49,B,2,1.求下列图中字母所代表的正方形的面积：,学以致用，做一做,2.求出下列直角三角形中未知边的长度,5,x,13,学以致用，做一做,解：（1）在RtABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2,X2 =36+64,x2 =100,x2=62+82, x=10,x0,x2+52=132,x2=132-52,x2=144, x=12,（2）在RtABC中,由勾股定理:AB2+AC2=BC2,x0,A,C,B,A,C,B,如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，
10、求正方形A，B，C，D的面积的和,S1,S2,解： SE= 49,S1=SA+SB,S2=SC+SD, SA+SB+SC+SD = S1+S2 = SE = 49,美丽的勾股树,竞技场！,1) 在直角三角形中，两条直角边分别为a,b, 斜边为c，则c2=_,a2+b2,2) 在RTABC中C=90,若a=4,b=3,则c=_ 若c=13,b=5,则a=_ 若 c=17,a=8,则b=_,5,12,15,一 填空题：,（3 ） 等边三角形的边长为12， 则它的高为_,（4) 在直角三角形中,如果有两边 为3,4,那么另一边为_,5,或,一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5，那么它的宽是（
11、 ） A B C D ,二 选择题：,如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ，那么直角三角形的其它两边长是（ ） A 1， B 1 ，3 C 1， D 1 ,5,如图，在RTABC中，C=90, B=45,AC=1,则AB=( ) A 2, B 1, C , D,A,C,B,A,B,C,探索勾股定理,我们有:,三、解决问题：,46,b=58,a=46,58,c,c2=a2+b2 =462+582 =5480,而742=5476,由勾股定理得：,在误差范围内,拓广应用,一个3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.5m如果梯子顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？,D,E,分析：在RtABC中,在RtDCE中,所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端将外移0.58m,活学活用,一个门框尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？,A,B,C,D,1m,分析,连结AC，在RtABC中，根据勾股定理： 因此， 因为AC大于木板的宽， 所以木板能从门框内通过。,课堂小结, 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.,勾股定理的主要作用是在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长。,作业：P69-70 1、2、3。,
