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1、2016年高考数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、(2016年四川高考)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线 上任意一点,M是线段PF上的点,且=2,则直线OM的斜率的最大值为(A) (B) (C) (D)1【答案】C2、(2016年天津高考)已知双曲线(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点,四边形的ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )(A)(B)(C)(D)【答案】D3、(2016年全国I高考)已知方程=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(A)(1,3) (B)(1,) (C)(0,3) (D)
2、(0,)【答案】A4、(2016年全国I高考)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B5、(2016年全国II高考)圆的圆心到直线的距离为1,则a=( )(A) (B) (C) (D)2【答案】A6、(2016年全国II高考)圆已知是双曲线的左,右焦点,点在上,与轴垂直,,则E的离心率为( )(A) (B) (C) (D)2【答案】A7、(2016年全国III高考)已知O为坐标原点,F是椭圆C:的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且轴.过点A的直线l与
3、线段交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(A)(B)(C)(D)【答案】A8、(2016年浙江高考) 已知椭圆C1:+y2=1(m1)与双曲线C2:y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则Amn且e1e21 Bmn且e1e21 Cm1 Dmn且e1e21【答案】A二、填空题1、(2016年北京高考)双曲线(,)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则_.【答案】22、(2016年山东高考)已知双曲线E: (a0,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个
4、焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是_.【答案】2【解析】由题意,所以, 于是点在双曲线上,代入方程,得, 在由得的离心率为,应填2.3、(2016年上海高考)已知平行直线,则的距离_【答案】4、(2016年浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是_【答案】三、解答题1、(2016年北京高考) 已知椭圆C: ()的离心率为 ,的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设的椭圆上一点,直线与轴交于点M,直线PB与轴交于点N.求证:为定值.【解析】由已知,又, 解得椭圆的方程为.方法一:设椭圆上一点,则.直线:,令,得.直线:,令,得.将代入上式得故为定值
5、.方法二:设椭圆 上一点,直线PA:,令,得.直线:,令,得.故为定值.2、(2016年山东高考)平面直角坐标系中,椭圆C:的离心率是,抛物线E:的焦点F是C的一个顶点.(I)求椭圆C的方程;(II)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证:点M在定直线上;(ii)直线与y轴交于点G,记的面积为,的面积为,求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.【解析】() 由离心率是,有,又抛物线的焦点坐标为,所以,于是,所以椭圆的方程为() (i)设点坐标为,由得,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的
6、方程为,设,将代入,得于是,又,于是直线的方程为联立方程与,得的坐标为所以点在定直线上(ii)在切线的方程为中,令,得,即点的坐标为,又,所以; 再由,得于是有 令,得当时,即时,取得最大值此时,所以点的坐标为所以的最大值为,取得最大值时点的坐标为3、(2016年上海高考) 有一块正方形菜地,所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是,菜地分为两个区域和,其中中的蔬菜运到河边较近,中的蔬菜运到点较近,而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点为的中点,点的坐标为(1,0),如图(1) 求菜地内的分界线的方程(2) 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的
7、两倍,由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点,请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积,及五边形的面积,并判断哪一个更接近于面积的经验值【解析】(1)因为上的点到直线与到点的距离相等,所以是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分,其方程为()(2)依题意,点的坐标为所求的矩形面积为,而所求的五边形面积为矩形面积与“经验值”之差的绝对值为,而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为,所以五边形面积更接近于面积的“经验值”4、(2016年上海高考)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.双曲线的左、右焦点分别为,直线过且与双曲线交于两点。(1)若的倾斜角为,是等边三角形,求双
8、曲线的渐近线方程;(2)设,若的斜率存在,且,求的斜率. 【答案】(1)(2).【解析】(1)设由题意,因为是等边三角形,所以,即,解得故双曲线的渐近线方程为(2)由已知,设,直线显然由,得因为与双曲线交于两点,所以,且设的中点为由即,知,故而,所以,得,故的斜率为5、(2016年四川高考)已知椭圆E:的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l:yx+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(I)求椭圆E的方程及点T的坐标;(II)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明:存在常数,使得PT2=PA PB,并求的值.有方程组 得.方程的判别
9、式为,由,得,此方程的解为,所以椭圆E的方程为.点T坐标为(2,1).由得.所以 ,同理,所以.故存在常数,使得.6、(2016年天津高考)设椭圆()的右焦点为,右顶点为,已知,其中 为原点,为椭圆的离心率.()求椭圆的方程;()设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点,若,且,求直线的斜率的取值范围.【解析】(2)()解:设直线的斜率为(),则直线的方程为.设,由方程组,消去,整理得.解得,或,由题意得,从而.由()知,设,有,.由,得,所以,解得.因此直线的方程为.设,由方程组消去,解得.在中,即,化简得,即,解得或.所以,直线的斜率的取值范围为.7、(201
10、6年全国I高考)设圆的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明为定值,并写出点E的轨迹方程;(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【解析】()因为,故,所以,故.又圆的标准方程为,从而,所以.由题设得,由椭圆定义可得点的轨迹方程为:().8、(2016年全国II高考)已知椭圆的焦点在轴上,是的左顶点,斜率为的直线交于两点,点在上,()当时,求的面积;()当时,求的取值范围【解析】 当时,椭圆E的方程为,A点坐标为,则直线AM的方程
11、为联立并整理得,解得或,则因为,所以因为,所以,整理得,无实根,所以所以的面积为直线AM的方程为,联立并整理得,解得或,所以所以因为所以,整理得,因为椭圆E的焦点在x轴,所以,即,整理得解得9、(2016年全国III高考)已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线分别交于两点,交的准线于两点(I)若在线段上,是的中点,证明;(II)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.10、(2016年浙江高考)如图,设椭圆(a1).(I)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示);(II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.【试题解析】(I)设直线被椭圆截得的线段为,由得,故,因此(II)假设圆与椭圆的公共点有个,由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点,满足记直线,的斜率分别为,且, 由于考前忙于复习,基本不会花时间了解有关信息,等高考结束后,又不知如何了解到有效信息。所以,无论考前还是考后,家长在报考学校这一环节付出精力较多,也愿意出资获取信息帮助孩子多了解高校信息- 17 -