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1、,曲线的极坐标方程,52 曲线的极坐标方程 在极坐标系中，用，=0表示曲线的方 程 。 一些基本曲线的方程： =r =0 (0) =0 (R),o x,o x,0,0,r,o,o,x,x,o,P,P(2，,P(，2/3, = 2, = ,2,3,o,o,o,o,x,x,x,x,c(a，0),c(a，/2),c(a，),c(a，-/2),P(，),P(，),P(，),P(，),=2acos,=2acos( -)= -2acos ,=2acos( -3/2)= -2asin,=2asin,x,x,x,x,P(，),P(，),P(，),P(，),o,o,o,o,a,a,a,a,=asec,=acsc
2、,=asec(-3/2)=-acsc,=asec(- )= -asec,),c(0，0),r,a,P(，),P(，),余弦定理,r2= 2+02- 2 0cos(-0),正弦定理, = ,sin(-),a,sin(-), = ,asin,sin(-),o,o,x,x,P47 三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 动点M到定点(焦点)F与到定直线(准线)L的 距离的比为e，求点M的极坐标方程。 分析：以焦点F为极点， 如图建立极坐标系。F到L 的离|FK|=p，M，为轨 轨上的任一点。 把条件 = e，用极坐标表示=e 解出 = ,K,F,H,M(，),x,|MF|,|MH|,P+cos,ep,1-e
3、cos,上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线,F,L,x,L,F,x,x,F,L,当0e1时，方程表示椭圆，F是左焦点，L是左准线。,当1e时，方程表示双曲线，F是右焦点，L是右准线。,当e=1时，方程表示抛物线，F是焦点，L是准线，开口向右。,圆锥曲线极坐标方程的应用 例 5 (1) 以抛物线y2=5x的焦点为极点，对称轴 向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的 长度单位相同，求抛物线的极坐标方程。 分析：设所求的抛物线的极坐标方程为 = ，基中e=1，p是焦点到准线的 距离，p= ，代入上式得所求的抛物线 = = ,ep,1-ecos,5,2,1- cos,1 ,2,5,2- 2cos,
4、5,(2) 以椭圆 + = 1的左焦点为极点，长轴 向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的 长度单位相同，求椭的极坐标方程。 分析：根据已知条件，可设所求的椭圆的 极 坐标方程为 = ，由椭圆的直角坐标 方程求得 a=5，b=4，c=3，e= ， p= -3+ = ，代入上式 = = ,x2,y2,16,25,ep,1-ecos,3,5,3,25,3,16,3/5 16/3,1-3/5cos,16,5-3cos,例 6 通过抛物线y2=8x的焦点F，作一条倾斜 角为/4的直线，交抛物线于A、B两点，求 焦点弦|AB|的值。 分析：可用以往学过 的方法求焦点弦的长。 也可建立极坐标系解决。 点
5、F为极点，x轴正半轴 为极轴，它的极坐标方程为 = ，1= ，2= |AB|= 1 + 2=16,o F x,A,B,y,4,1-cos,1,2,4,1-cos/4,4,1-cos5/4,P52 53 极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系xoy的 原点为极点，x轴的正方 向为极轴，点M的直角 坐标为(x，y)，它的极 坐标为(，根据三角 函数定义，同一点M的两种坐标有下面关系 x= cos ， y=sin ， 2=x2+y2 ，tg = (x=0) 一般，根据M所在象限 ，取最小的正角。,o,x,y,M,),y,x,公式的应用 例 把点M的极坐标(-5，)化成直角坐标 直接代入公式计算 x=c
6、os= -5cos/6 =(-5/2)3 y=sin = -5sin/6= - 5/2 点M的直角坐标是(- ，- ) 例 把点M的直角坐标(-3，-1)化为极坐标 极径取正值 =2 极角 ： tg = ，= ,6,),M,o,x,y,53,5,2,2,o,x,y,M,3,3,7,6,同一条曲线在两个不同坐标系中方程的互化 P54 例 3 化圆的直角坐标方程x2+y2-2ax=0为 极坐标方程。 解题时，应用公式，注意整体替代。把 x2+y2=2，x=cos代入直角坐标方程得 2-2acos = 0(-2acos)=0 所示的极坐标方程是=0或-2acos =0 =0 是极点， =2acos
7、表示以(a，0)为圆心，a为 半径，且过极点的圆，所以 =0不必写出来。,o,x,(a，0),例 5 化=-4sin+cos 为直角坐标方程 解题注意整体替代。 把原极坐标方程两边同乘 2 =-4 sin + cos ， 2 =x2+y2 ， cos = x， sin = y，它的直角坐标方程 是x2+y2=-4y+x (x- )2+(y+2)2= 在直角坐标系xoy中 方程表示的是以(，-2)为 圆心 ，为半径的圆。,1,2,4,17,o,x,y,1,2,2,14,把极坐标方程2sin2 =2tg化为直角坐标方程 解：把原方程化为sin cos = tg x= cos ，y= sin ， = tg 它的直角坐标方程是 xy= y(x2-1)=0 y (x-1) (x+1)= 0 从极坐标方程直接看不出方程表示的曲线 是什么，化为直角坐标方程后知道它表示的 是三条直线：y=0或x=1或x=-1,x,y,y,x,P54 例 4 化圆锥曲线的极坐标方程= 为直角坐标方程。 解：把原极坐标方程化为 -ecos=ep =e cos +p)， = x2+y2 ， x = cos x2+y2=e(x+p)，两边平方得 x2+y2=e2(x2+2px+p2)，整理，所求的直角坐 标方程是(1-e2)x2+y2-2pe2x-e2p2=0,ep,1-ecos,
