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1、专题基础知识回顾四 三角形一、单元知识网络: 经典例题透析考点一、三角形的概念及其性质1(1)(2010山东济宁)若一个三角形三个内角度数的比为234,那么这个三角形是( )A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 (2)三角形的三边分别为3,1-2a,8,则a的取值范围是( )A-6a-3 B-5a-2 C2a5 Da-5或a-2举一反三:【变式1】已知a,b,c为ABC的三条边,化简得_.【变式2】有五根细木棒,长度分别为1cm,3cm,5cm,7cm,9cm,现任取其中的三根木棒,组成一个三角形,问有几种可能( )A.1种 B.2种 C.3种 D.4种【变式
2、3】等腰三角形中两条边长分别为3、4,则三角形的周长是_.2(1)(2010宁波市)如图,在ABC中,ABAC,A36,BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有 ( )A5个 B4个 C3个 D2个(2)如图在ABC中,ABC=90,A=50,BDAC,则CBD的度数是_.3已知ABC的三个内角A、B、C满足关系式B+C=3A,则此三角形中( ) A.一定有一个内角为45 B.一定有一个内角为60C.一定是直角三角形 D.一定是钝角三角形举一反三:【变式1】下图能说明12的是( )【变式2】如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和,这个三角形是( )A.锐角三角形 B.钝
3、角三角形 C.直角三角形 D.不能确定【变式3】下列命题:(1)等边三角形也是等腰三角形;(2)三角形的外角等于两个内角的和;(3)三角形中最大的内角不能小于60;(4)锐角三角形中,任意两内角之和必大于90,其中错误的个数是( )A.0 个 B.1个 C.2个 D.3个思路点拨:本题的解题关键是要理解定义,掌握每种三角形中角的度数的确定.解析:(2)中应强调三角形的外角等于不相邻的两个内角的和;三角形中最大的内角若小于60,则三个角的和就小于180,不符合三角形内角和定理,故(3)正确;(4)三角形中,任意两内角之和若不大于90,则另一个内角就大于或等于90,就不能是锐角三角形.所以中有(2
4、)错,故选B.考点二、三角形的“四心”和中位线4(1)与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的( ) A.二条中线的交点 B. 二条高线的交点C.三条角平分线的交点 D.三边中垂线的交点()(2010四川眉山)如图,将第一个图(图)所示的正三角形连结各边中点进行分割,得到第二个图(图);再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割,得到第三个图(图);再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割,则得到的第五个图中,共有_个正三角形5一个三角形的内心在它的一条高线上,则这个三角形一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形举一反三:【变式1
5、】如图,已知ABC中,A=58,如果(1)O为外心;(2)O为内心;(3)O为垂心;分别求BOC的度数.【变式2】如果一个三角形的内心,外心都在三角形内,则这个三角形是( )A.锐角三角形 B.只有两边相等的锐角三角形C.直角三角形 D.锐角三角形或直角三角形【变式3】能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段,是三角形的( )A.中线 B.高线 C.边的中垂线D.角平分线6(1)(2010广东茂名)如图,吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC,已知点E、F分别是边AB、AC的中点,量得EF5米,他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡,则需用篱笆的长是( )A、15米 B、20米 C、25
6、米 D、30米(2)已知ABC中,ABBCCA=324,AB=12厘米,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则DEF的周长是_.举一反三:【变式1】求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.【变式2】已知:如图,四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?考点三、全等三角形7对于下列各组条件,不能判定的一组是( ) A.A=A,B=B,AB=AB B.A=A,AB=AB,AC=ACC.A=A,AB=AB,BC=BC D.AB=AB,AC=AC,BC=BC举一反三:【变式1】两个三角形有以下三对元素对应相等,则不能判定全等
7、的是( )A.一边和任意两个角 B.两边和它们的夹角C.两个角和它们一角的对边 D.三角对应相等8(2010湖南长沙)在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AC上一点,连接EB、ED (1)求证:BECDEC;(2)延长BE交AD于F,当BED=120时,求EFD的度数 第8题图举一反三:【变式1】如图,已知:AC =DB,要使,只需增加一个条件是_.【变式2】如图,已知,ABC中,C=90,AM平分CAB,CM=20cm,那么M到AB的距离是_.考点四、等腰三角形与直角三角形9(1)(2010湖北黄石) 如图,等腰三角形ABC中,已知ABAC,A30,AB的垂直平分线交AC于D,则CBD的度
8、数为_. (2)等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )A.顶角的2倍 B. 顶角的一半 C. 顶角 D. 底角的一半10ABC等边三角形,BD是中线,延长BC到E,使CE=CD,不添加辅助线,请你写出尽可能多的结论. 举一反三:【变式1】若一个三角形的两个内角分别为50、80,则这个三角形是_三角形.考点:等腰三角形的判定.【变式2】已知等腰ABC中,ABC=ACB=2A,且BDAC,垂足为D,求DBC的度数.【变式3】把腰长为的等腰直角三角形折叠两次后,得到的一个小三角形的周长是_.解析:本题是动手操作题型,展开后会发现小三角形一边恰好是原三角形的中位线,从而得出小三角形的周长就是原三
9、角形周长的一半.11如果线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比可以是( ) A. 1:2:4 B. 1:3:5 C. 3:4:7 D. 5:12:1312(1)(2010年江苏无锡)如图1,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是DCP的平分线上一点若AMN=90,求证:AM=MN下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明证明:在边AB上截取AE=MC,连ME正方形ABCD中,B=BCD=90,AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE (下面请你完成余下的证明过程)若将中的“正方形ABCD
10、”改为“正三角形ABC”(如图2),N是ACP的平分线上一点,则当AMN=60时,结论AM=MN是否还成立?请说明理由 若将中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”,请你作出猜想:当AMN=_时,结论AM=MN仍然成立(直接写出答案,不需要证明)(2)将一张矩形纸片如图所示折叠,使顶点落在点.已知,则折痕的长为( )A. B. C. D. 举一反三:【变式1】下列条件能确定ABC是直角三角形的条件有( )(1)A+B=C;(2)A:B:C=1:2:3;(3)A=90-B;(4)A=B=C.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【变式2】如图,一张直角三角形纸片,两直角边AC=4cm,BC
11、=8cm,将ABC折叠,点B与点A重合,折痕为DE,则DE的长为( )A. B. C. D.5【变式3】已知:在直角ABC中,C=90,BD平分ABC且交AC于D.(1)若BAC=30,求证: AD=BD;(2)若AP平分BAC且交BD于P,求BPA的度数. 图1 图2中考题萃1(2010 湖南株洲)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点已知、是两格点, 如果也是图中的格点,且使得为等腰三角形,则点的个数是( )A6 B7 C8 D92(沈阳市)(3分)若等腰三角形中有一个角等于,则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A. B. C.或 D.或3.(太原市)(3分)在中,D,E分别是边AB,AC的中点,已知BC=10,则DE的长为( )A.3 B.4 C.5 D.64.(太原市)(3分)如果三角形的两边分别为3和5,那么这个三角形的周长可能是( )A.15 B.16 C.8 D.75.(湛江市)(3分)已知等边三角形ABC的边长为,按图中所示的规律,用个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( )A. B. C. D.6.(成都市)(3