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1、教学过程一、事例分析,导入新知:在前面的学习中,大家接触了许多等式和公式等,例如(a+b)(ab)=a2b2,(ab)n=anbn,(a+b)2=a2+2ab+b2等,这些等式都称为代数恒等式 我们可以用直观的几何图形表形象地表现出有些代数恒等式问题一(1)、如图,有一个张长方形纸片,该如何表示它的总面积?方法1. S= 方法2. S= 方法3. S= 方法4. S= 得出:_._即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn从图形面积的不同表示方法可以列出一个代数恒等式.二、自主探究,总结方法1.从图形面积到代数恒式:(1)说一说:请同学们观察用硬纸片拼成的两幅图形:如何求图形的面积?你能根
2、据所求面积写一个代数恒等式吗?如:在图1中,方法1.看成1个边长为2a的正方形:_.方法2.看成4个边长为a的小正方形: _.方法3.看成2个边长分别为2a、a的长方形: _.代数恒等式_ .这些图形面积的两种不同表示,可以用来解释代数恒等式. 这也是数学中一种常用的数学技巧-算两次.问题二如图3,用4个长为、宽为的长方形拼成一个正方形,请你根据图形的面积写出一个代数恒等式.利用我们学过的公式进行计算,能不能验证它的正确性呢?方法1:把这个大正方形分成五块(一个小正方形和4个长方形):_;方法2:求中间这个小正方形的面积:_;方法3:求四个长方形的面积:_;方法4:把这个正方形分成三个长方形:
3、_.小结:利用同一图形面积的不同表示方法可以得出代数恒等式2.从代数恒等式到图形面积:问题三:请分别说出下列代数式或代数恒等式的几何意义:(1)2a3a=6a2;(2)m(a+b+c)=ma+mb+mc;(3)3a5ab.如:归纳:方法1:表示高是3a,底面边长是5a、b的长方体;方法2:表示3个高是a,底面边长是5a、b的长方体;方法3:表示5个高是3a,底面边长是a、b的长方体;方法4:表示15个高是a,底面边长是a、b的长方体.三、理解运用,巩固提高1.说明下列代数恒等式的正确性. (1) 23b6b (2) (2b)(b)23bb)2.看图,写代数恒等式: a b a a 图5图4 四
4、、总结反思_.五、测试1一块边长为m米的正方形试验田,因需要将其边长增加 n米,形成四块试验田,以种植不同的新品种(如图),试验田的总面积可表示为 ,也可表示为 ,即有 。xxx-yx-yyy2.请你观察图,依据图形面积之间的关系,不需要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是 3.如右图,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形(ab);把剩下的部分拼成一个梯形,分别计算这两个图形的阴影部分的面积,验证了一个公式: 提示:正方形面积公式:S= a2 ,梯形面积公式:S= 。4.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a b)(左图),把余下的部分拼成一个矩形(右图
5、),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证( )A、 B、C、 D、5我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图(3)可以用来解释(a+b)2(ab)2=4ab.那么通过图(4)面积的计算,验证了一个恒等式,此等式是( )A、a2b2=(a+b)(ab)B、(ab)2=a22ab+b2 C、(a+b)2=a2+2ab+b2 D、(ab)(a+2b)=a2+abb26、如图所示,(1)指出图中有多少个边长为a的正方形?有多少个边长为b的正方形?有多少个两边长分别为a和b的矩形?(2)请在图中指出面积为(a+2b)2的图形,利用乘法公式计算结果
6、,并利用图形的关系验证相应的结果7阅读下列材料并回答问题:我们知道,两数和的平方公式“”可以用平面图形的面积来表示如图(A)。实际上,有些代数恒等式也可以用平面图形的面积表示,例如:(2a+b)(a+b)可以用图形(B)或(C)的面积表示。请写出图形(D)所表示的一个代数恒等式: ;试画出一个平面图形,使它的木匠泥工表示代数恒等式:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;请仿照上述方法另写出一个关于x、y的代数恒等式,并设计画出一个与之相对应的平面图形。(要求:与上述所列举的代数恒等式不同)mmnn图a8.图a是一个长为2 m、宽为2 n的长方形, 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,
7、然后按图b的形状拼成一个正方形。(1)、你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少? (2)、请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积。nnnnmmmm图b方法1: 方法2: (3)、观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?代数式: 关系式: (4)、根据第(3)问中的等量关系,解决如下问题:若,求的值9(1)已知(2)有多个长方形和正方形(如下图):利用这些图形,画出一个矩形,使其面积为(3)并根据这个矩形的面积写出一个代数恒等式。 yxxxyy10、(1)已知(2)如图所示的长方形或正方形三类卡片各有若干张,利用这些卡片拼成一个长方形和正方形图形。长方形的面积能表示成,正方形的面积能表示成(要求:所拼图形中每类卡片都要有,卡片之间不能重叠。)画出示意图,并计算出它的面积。11.乘法公式的探究及应用.(1)如左图,可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式); (2)如右图,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,它的宽是 ,长是 ,面积是 (写成多项式乘法的形式)(3)运用这条公式计算9.810.2aabb