《抛物线及其标准方程资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物线及其标准方程资料（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：,都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.,(2) 当e1时，是双曲线;,(1)当0e1时,是椭圆;,(其中定点不在定直线上),e1,那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？,l,问题探究： 当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？,探究？,可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.,几何画板观察,2.4.1抛物线及其标准方程,在平面内,与一个定点F和一条定直线l (不
2、在直线上）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线,|MF|=d,d 为 M 到 l 的距离,准线,焦点,d,一、抛物线的定义:,二、标准方程的推导,思考：抛物线是轴对称图形吗？怎样建立坐标系,才能使焦点坐标和准线方程更简捷?,1.建系,2.设点,3.列式,4.化简,l,解：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.,两边平方,整理得,M(x,y),F,依题意得,5.检验,这就是所求的轨迹方程.,如图，若以准线所在直线为y轴， 则焦点F(P,0),准线L:x=0,由抛物线的定义，可导出 抛物线方程为 y2 =
3、 2p(x- )(p0）,三、标准方程,把方程 y2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.,且 p的几何意义是:,右焦点是：,左准线方程为:,一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式.,l,M(x,y),F,焦 点 到 准 线 的 距 离,第一:一次项的变量为x(或y),则x轴(或y轴)为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上. 第二:一次项的系数的正负决定了开口方向.,不容易错的最好方法是看看x(或y)的取值范围,即：焦点与一次项变量相同；正负决定开口方向！,例1 1）抛物线的标准方程是y2 = 6x
4、，求焦点和准线方程；,2）抛物线的方程是y = 6x2,求焦点坐标和准线方程；,3）抛物线的焦点坐标是F（0，-2）,求它的标准方程。,解:方程可化为: 故焦点坐标 为 ,准线方程为,（5，0）,x= -5,（0，-2）,y=2,练习1求下列抛物线的焦点和准线方程 （1）y2 = 20x （2）y=2x2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0,注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式,练习2抛物线的顶点是坐标原点，根据下列条件，分别写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程是x = ；,（3）焦点到准线的距离是2。,y2 =12x,y2 =x,y
5、2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y,反思：,已知抛物线的标准方程 求其焦点和准线方程,先定位，后定量,O,y,x,解:(1)当焦点在 y 轴正半轴上时， 把A(-3,2)代入x2 =2py，得p=,(2)当焦点在 x 轴负半轴上时,把 A(-3,2)代入y2 = -2px，得p=,抛物线标准方程为x2 = y 或 y2 = x 。,练习3抛物线经过点P(4,2)，求抛物线的标准方程。,提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为y2=2px或x2=-2py,例2.求顶点是坐标原点,且过A(-3,2)的抛物线的标准方程.,例3已知抛物线方程为x=a
6、y2（a0)，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？,思考:M是抛物线y2 = 2px（p0）上一点，若点M 的横 坐标为x0，则,O,y,x,F,M,这就是抛物线的焦半径公式!,例4抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的横坐标为3的点M到焦点的距离等于6，求抛物线的标准方程.,y2=2px(p0),由抛物线的定义知3-(- )=6,即p=6.,数形结合,用定义转化条件,解:因为是焦点在 x 轴上且过M点的抛物线,所以设标准方程为,所求抛物线标准方程为y2 =12x,变式：抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离等于6，求抛物线的标准方程.,过抛物线 的焦点F作x轴的垂
7、线交抛物线与、两点，且 。,34页作业9,变式3点M与点F(2，0)的距离比它到直线l:x+4=0的距离小2, 求点M的轨迹方程?,35页作业11,第 2 课 时,准线方程,焦点坐标,标准方程,焦点位置,图 形,不同位置的抛物线,x轴的 正方向,x轴的 负方向,y轴的 正方向,y轴的 负方向,y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,F(-,-,-,-,O,y,x,F,M,抛物线的焦半径公式,例1抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的横坐标为-3的点M到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程.,y2=-8x,变式：抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5
8、，求抛物线的标准方程，并求m的值.,O,y,x,F,M,变式：在抛物线y2=-8x上，到焦点的距离等于5的点的坐标.,35页作业10,36页作业8(改),35页作业5（改）,37页作业7（改）,练习,后备练习.已知抛物线x2=4y的焦点F和点A(-1，8)，P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值是( ) (A)16 (B)6 (C)12 (D)9,D,第 3课时,直线与抛物线位置关系种类,1、相离: 2、相切: 3、相交:,（一个交点，两个交点）,（一个交点）,（没有交点）,(0,1),判断直线是否与抛物线的对称轴平行,不平行,直线与抛物线相交(一个交点),平行,计 算 判 别 式,(
9、0,1),K=1/2,K=0,K=-1,若直线l与抛物线有公共点,l在y轴上截距的最小值?,变式1:已知实数x,y满足方程y2=4x,求函数 的最值,变式3:点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y的最值.,本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题.,本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值问题.,无最大值,变式2:点(x,y)在椭圆x2/4+y2=1上运动,求点(0,-2)与椭圆上任一点连线的斜率k的范围.,第4课时, |AB|= =8,方法 (1) 解：如图:由抛物线的标准方程可知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),所以直线AB的方程为,即A
10、,B的坐标分别为 : ( , ) ( , ),解得 ,得,代入方程,问题(1)试问还有其他方法或更简捷一点的解法么?,方法 (2) (弦长公式) |AB|=,方法(3)由抛物线定义|AB|=|AF|+|BF|,问题(1)试问还有其他方法或 更简捷一点的解法么?,=|AA|+|BB|=,=8,A,B,方法()焦半径公式,例斜率为1的直线经过抛物线 的焦点,与抛 物线相交于A,B,求线段AB的长。,|PF|=x0+p/2,F,P,抛物线的焦半径公式：,F,P,F,P,F,P,|PF|=-x0+p/2,|PF|=y0+p/2,|PF|=-y0+p/2,方法()焦半径公式,例斜率为1的直线经过抛物线
11、的焦点,与抛 物线相交于A,B,求线段AB的长。, 抛物线的焦点弦,问题（2）从方法（4）中你能得到什么结论？,过抛物线y=2px (p0)的焦点的直线交抛物线于A,B两点则|AB|=,问题（3）能否把例（2）推广到一般性的命题呢？,斜率为k的直线经过抛物线 (p0)的焦点，与抛物线相交于A，B，求线段AB的长。（用k,p表示）,解：设直线AB的方程为,x1+x2+p,|AB|=,即:,( ),斜率为k的直线经过抛物线 (p0)的焦点，与抛物线相交于A，B，求线段AB的长。（用k,p表示）,|AB|=,由此可得, 即通径.,问题(4):把上题中的斜率k换成直线的倾斜角 呢?(0 ),通径是抛物
12、线的焦点弦中最短的弦.,(分类讨论合并，即分斜率存在或不存在),练习.过抛物线y2=4x的焦点，作直线L交抛 物线于A、B两点，若线段AB中点的横 坐标为3，则|AB|=_.,8,焦点弦的长度公式,焦半径公式,例斜率为1的直线经过抛物线 的焦点,与抛 物线相交于A,B,求线段AB的长。,斜率为k的直线经过抛物线 (p0)的焦点，与抛物线相交于A，B，求线段AB的长。（用k,p表示）,第5课时,问题(6):过抛物线 (p0) 焦点的一条直线与它相交于A,B两点,经过A和抛物线顶点的直线交准线于点C,(2001高考题作业本页第题)设抛物线 (p0)的焦点F, 经过F 的直线交抛物线A,B两点,点C
13、在抛物线的准线上,且BCx轴,证明:AC经过原点O.,那么BC与抛物线的对称轴有什么关系呢?,(证KOC=KOA),BC平行于对称轴.,( 的结论略证),当 时,(x2,y2),(x1,y1),则直线OA的方程,问题(6): 有什么几何意义呢?,结论:,(2)以Q为圆心,以AB为 直径的圆切AB 于F点.,问题(6): 有什么几何意义呢?,结论:,Q,(2)以Q为圆心,以为直 径的圆切AB 于F点.,QP=1/2(AA+BB),AA+BB=AF+BF,=AB,M,N,问题(6): 有什么几何意义呢?,结论:,Q,(2)以Q为圆心,以为直 径的圆切AB 于F点.,(3) AQBQ,P,(4)以P为圆心以AB为 直径的圆切于Q点,问题(7):,C,y2 = 8x,练习: 1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是_. 2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为_ 3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程.,X=3,1、通径：,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：,P越大,开口越开阔,2、焦半径：,3、焦点弦：,焦点弦公式：,F,A,B,（1）,M,2P,例2：斜率为1的直线经过抛物线 的焦点,与抛物 线相交于A,B,求线段AB的长。,
