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1、常见分布的期望和方差分布类型 概率密度函数 期望 方差0-1 分布 B（1，p） p pq二项分布 B（n，p） inii qpCXPp(1),(2,.)pinn npq泊松分布 P() eiii !0,3.i 均匀分布 U（ ）,ab 等或 21)(1)(rxfabxf 2ab2()1ba正态分布 N（ ）2,2()()xfe,0)2指数分布 E（） ,()0xf 121分布，22()n12,. N(0,1)nX相 互 独 立 ， 且 标 准都 服 从 正 态 分 布2221.nX nn分布，t()t (0,)N:2()Yx:XtY0 (2)概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算： 。()
2、()XFxPx2、随机变量函数的概率密度： 是服从某种分布的随机变量，求 的概率密度： 。 （参见 P6672）()YfX()()YXfyfxhy3、分布函数 具有以下基本性质：(,)(,)xyfuvd、是变量 x，y 的非降函数；、 ，对于任意固定的 x，y 有： ；0(,)1F(,)(,)0Fyx、 关于 x 右连续，关于 y 右连续；、对于任意的 ，有下述不等式成立：12122(,),yxy 2(,)()()0FxyF4、一个重要的分布函数： 的概率密度为：,arctn(arctn)23xyxy 2226(,)(,)(4)9fxyFxyy5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度： ()(
3、,)XYfxfydyx边缘分布函数： 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。(),)(,)XyYFxfudyyxv6、随机变量的独立性：若 则称随机变量 X，Y 相互独立。简称 X 与 Y 独立。(,)()XYxF7、两个独立随机变量之和的概率密度： 其中 ZXY()()()ZXYYXfzfxzdxfyzdy8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即 。2211,ZabNab:9、期望的性质：（3） 、 ；（4） 、若 X，Y 相互独立，则 。()()EXYE ()()E10、方差： 。若 X，Y 不相关，则 ，否则 ，22()D()DXDY()2(,)XYDYCovX()(,)XY
4、Cov11、协方差： ，若 X，Y 独立，则 ，此时称：X 与 Y 不相关。(,)(CovEXE(,)0Cov12、相关系数： ， ，当且仅当 X 与 Y 存在线性关系时 ，且(,),)(XYvD1Y 1XY1,b0;XY 当当 。13、k 阶原点矩： ，k 阶中心矩： 。()kv()kk14、切比雪夫不等式： 。贝努利大数定律： 。2 2) (),(1XDPEPE或 0lim1nPp15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因 ，所以 。21nii n01lim1niniPX16、独立同分布序列的中心极限定理：(1)、当 n 充分大时，独立同分布的随机变量之和 的分布近似于正态分布 。1nii
5、ZX 2(,)N(2)、对于 的平均值 ，有 ， ，即独立同分布的随机12,.nX1niiX1()()niiE221()()niiDXn变量的均值当 n 充分大时，近似服从正态分布 。()Nn(3)、由上可知： 。lim() ()nnPaZbaPZba17、棣莫弗拉普拉斯中心极限定理：设 m 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 发生的概率，则对任意 ,x， 其中 。li ()npxq1q(1)、当 n 充分大时，m 近似服从正态分布， 。(Nn(2)、当 n 充分大时， 近似服从正态分布， 。n,)p18、参数的矩估计和似然估计：(参见 P200)19、正态总体参数的区间估计：所估参数 条件 估计函数 置信区间已知xun, xuxn未知ts(1), (1)ssttn未知22(1)n221, ()()n1221未知1212212()()wxytsns其 中 1212()()wxytnsn211,未知21sF2211 (,)(,)ssFnFn，20、关于正态总值均值及方差的假设检验，参见 P243 和 P248。
