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1、专题 平面向量-向量的数量积范围专题 平面向量-向量的数量积范围例题分析如图，已知矩形ABCD的边长AB2，AD1点P，Q分别在边BC，CD上，且PAQ45，则的最小值为_参考答案：44解析：解法一：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系设P(2，m)，其中0m1，又设Q(n，1)，因为tanBAQtan(BAP)，即，所以n，所以2nm22m2444，（坐标法分析向量数量积）当且仅当m22，即m22时等号成立解法二：设tanBAP，tanDAQ，则AP，AQ，所以cos（定义法分析向量数量积），当且仅当2，即时等号成立解题强化如图，ABC为等腰三角形，BAC120，AB
2、AC4，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC与点E，F，P是劣弧上的一点，则的取值范围是_参考答案：11，9 坐标法分析坐标系的建立 （2018届苏州一模）ABC是边长为2的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是_参考答案：1，13 已知半径为1，圆心角为的上有一点C当C在上运动时，D，E分别为线段OA，OB的中点，求的取值范围解析：以O为原点，以为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系设(cos ，sin )，0，E(0，)，则(0，)(cos ，sin )(cos ，sin )因为D(，0)，所以(，)，所以(cos sin )sin() （坐标法分析向
3、量数量积）因为0，所以，所以sin()1，1，则sin()，所以，已知半径为1，圆心角为的上有一点C(1) 当C为的中点时，D为线段OA上任一点，求|的最小值；(2) 当C在上运动时，D，E分别为线段OA，OB的中点，求的取值范围解：以O为原点，以为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系(1) 设D(t，0)(0t1)，C(，)，所以(t，)，所以|2tt2t2t1(t)2(0t1)，当t时，|的最小值为(2) 设(cos ，sin )，0，E(0，)，则(0，)(cos ，sin )(cos ，sin )因为D(，0)，所以(，)，所以(cos sin )sin() （坐标法分析向量数量积
4、）因为0，所以，所以sin()1，1，则sin()，所以，在ABC中，AB5，AC7，BC3，P为ABC内一点(含边界)，若满足(R)，则的取值范围是_参考答案：，解析：()253cosB15cosB，（定义法分析向量数量积）cosB，因此，而P为ABC内一点(含边界)，(R)，所以0，因此的取值范围是，巩固练习已知点P在圆x2y21上，点A的坐标为(2，0)，O为原点，则的最大值为_参考答案：6(2017北京卷)解析：设P(x1，y1)因为(2，0)，(x12，y1)，所以2(x12)2x14由题意可知1x11，所以22x146，故的最大值为6（坐标法分析向量数量积）在ABC中，BC2，A，
5、则的最小值为_参考答案：解析：设ABx，ACy，由余弦定理得22x2y22xycos，即4x2y2xy2xyxy，故xy，当且仅当xy时取“”，ABACcosAxy，（定义法分析向量数量积）即的最小值为.已知ABC的周长为6，|，|，|成等比数列，求：(1) ABC面积S的最大值；(2) 的取值范围解：设|，|，|依次为a，b，c，则abc6，b2ac在ABC中，cos B，故有0B又b，从而0b2(1) Sacsin Bb2sin B22sin，当且仅当ac，且B，即ABC为等边三角形时面积最大，即Smax(2) accos B(b3)227因为 a，b，c为ABC的边，所以acb，即(ac
6、)2b2因为abc6，b2ac，所以 b2(ac)24ac，因此b2(6b)24b2，b23b90，所以b因为0b2， 2，即的取值范围是2，18)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是_参考答案： (2017全国卷)解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，)设P(x，y)，则()(x，y)(2x，y)(1x，y)(x，y)(2x3，2y)x(2x3)y(2y)2x23x2y2y2(x)22(y)2，当且仅当x，y时等号成立，点(，)在ABC内部，此时()取得最小值，最小值为如图，线段AB的长度为2，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作等边三角形ABC，O为坐标原点，求的取值范围解析：设BAO，(0，90)，则B(0，2sin )，C(2cos 2cos(120)，2sin(120)， 则(0，2sin )(2cos 2cos(120)，2sin(120)2sin 2sin(120)2sin cos 2sin22sin(230)1因为(0，90)，所以(0，3
