《2013高中数学奥数培训资料之指数函数-对数函数-密函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013高中数学奥数培训资料之指数函数-对数函数-密函数（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、兰州成功私立中学高中奥数辅导资料（内部资料）7指、对数函数,幂函数指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。一、 指数概念与对数概念：指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘aaa(n个)=an导出乘方，这里的n为正整数。从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。 欧拉指出：“对数源出于指数”。一般地，如果a(a0,a1)的b次幂等于
2、N，就是ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b其中a叫做对数的底数，N叫做真数。ab=N与b=logaN是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求N时，是指数运算，当给出N求b时，是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。二、指数运算与对数运算的性质1指数运算性质主要有3条：axay=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=axbx（a0,a1,b0,b1）2对数运算法则（性质）也有3条：（1）loga(MN)=logaM+logaN（2）logaM/N=logaM-logaN（3）logaMn=nlogaM(nR)(a0,a1,M0,N0)3指数运算
3、与对数运算的关系：X=alogax；mlogan=nlogam4负数和零没有对数；1的对数是零，即loga1=0；底的对数是1，即logaa=15对数换底公式及其推论：换底公式：logaN=logbN/logba推论1：logamNn=(n/m)logaN推论2：三、指数函数与对数函数函数y=ax(a0,且a1)叫做指数函数。它的基本情况是：（1）定义域为全体实数（-，+）（2）值域为正实数（0，+），从而函数没有最大值与最小值，有下界，y0（3）对应关系为一一映射，从而存在反函数-对数函数。（4）单调性是：当a1时为增函数；当0a0,a1),f(x+y)=f(x)f(y),f(x-y)=f(
4、x)/f(y)函数y=logax(a0,且a1)叫做对数函数，它的基本情况是：（1）定义域为正实数（0，+）（2）值域为全体实数（-，+）（3）对应关系为一一映射，因而有反函数指数函数。（4）单调性是：当a1时是增函数，当0a0,a1)，f(xy)=f(x)+f(y),f(x/y)=f(x)-f(y)例题讲解1若f(x)=(ax/(ax+a)，求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+f(1000/1001) 25log25等于：（ ）（A）1/2 （B）(1/5)10log25 （C）10log45 （D）10log523计算4试比较(+1)/(+1)与(+1)/(+1)
5、的大小。5已知(a,b为实数)且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）（A）-5 （B）-3 （C）3 （D）随a,b的取值而定6已知函数y=(10x-10-x)/2)(XR)（1）求反函数y=f-1(x)（2）判断函数y=f-1(x)是奇函数还是偶函数7已知函数f(x)=loga(1+x)/(1-x)(a0,a1)（1）求f(x)的定义域（2）判断f(x)的奇偶性并给以证明；（3）当a1时，求使f(x)0的x取值范围；（4）求它的反函数f-1(x)822003的十进制表示是个P位数，52003的十进位表示是个q位数，则p+q=。9已知x2-2x+loga(a2-a)=0有
6、一正根和一负根，求实数a的范围。10设y=log(1/2)a2x+2(ab)x-b2x+1(a0,b0)，求使y为负值的x的取值范围课后练习1设a,b,c都是正数，且3a=4b=6c，那么（ ）（A）(1/c)=(1/a)+(1/b), (B)(2/c)=(2/a)+(1/b), (C)(1/c)=(2/a)+(2/b), (D)(2/c)=(1/a)+(2/b)2.F(x)=(1+(2/(2x-1)f(x)(x0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )（A）是奇函数 （B）是偶函数 （C）可能是奇函数也可能是偶函数 （D）不是奇函数也不是偶函数3若f(x)=3x+5，则f-1(x)
7、的定义域是（ ）（A）(0,+) (B) (5,+) (C) (8,+) (D) (-,+)4求值：6lg405lg365已知m,n为正整数，a0,a1,且logam+loga(1+(1/m)+loga(1+(1/(m+1)+loga(1+(1/(m+n-1)=lgam+logan。求m,n6X=(1/(log(1/2)(1/3)+(1/(log(1/5)(1/3)的值属于区间（ ）（A）（-2，-1） （B）（1，2） （C）（-3，-2） （D）（2，3）7计算：（1）lg20+log10025 (2)lg5lg20+(lg2)28若集合x，xy，lg(xy)=0，x,y，则log8(x2
8、+y2)=。9若x(1,10)，则lg2x,lgx2,lglgx的大小顺序是：（A）lg2xlgx2lglgx (B)lg2xlglgxlgx2 （C）lgx2lg2xlglgx (D)lglgxlg2xlgx210计算：11集合x-1log(1/x)10-(1/2),xN的真子集的个数是 。12求函数y=(1/4)x2-2x-3的单调区间。13已知指数函数f(x)=ax(a0,且a1)，求满足f(3x2-4x-5)f(2x2-3x+1)的x的取值。14解方程8log6(x2-7x+15)=5log6815设有关于x的不等式lg (x+3+x-7)a（1）当a=1时，解这个不等式；（2）当a为
9、何值时，这个不等式的解集为R？课后练习答案1.（B）；2.（A）；3.（B）；4.216；5.m=2，n=2；6.（D）；7.（1）2，（2）1；8.1/3；9.（D）；10.1/2；11.290-1；12.单调增区间（-，1，单调减区间1，+）13.当a1时，x-2或x3，当0a1时，-2x3；14.x1=2,x2=5；15.(1)x-3或x7，（2）a1 例题答案：1分析：和式中共有1000项，显然逐项相加是不可取的。需找出f(x)的结构特征，发现规律，注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=1，而f(x)+f(1-x)=(a
10、x/(ax+a)+(a1-x/(a1-x+a)=(ax/(ax+a)+(a/(a+axa)=(ax/(ax+a)+(a)/(ax+a)=(ax+a)/(ax+a)=1规律找到了，这启示我们将和式配对结合后再相加：原式=f(1/1001)+f(1000/1001)+f(2/1001)+f(999/1001)+f(500/1001)+f(501/1001)=(1+1+1)5000个=500说明：观察比较，发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。（1）取a=4就是1986年的高中数学联赛填空题：设f(x)=(4x/(4x+2)，那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001
11、)+f(1000/1001)的值=。（2）上题中取a=9，则f(x)=(9x/(9x+3)，和式值不变也可改变和式为求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+f(n-1)/n).（3）设f(x)=(1/(2x+2)，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为。这就是2003年春季上海高考数学第12题。2解：5log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)10log25选（B）说明：这里用到了对数恒等式：alogaN=N(a0,a1,N0)这是北京市1997年高中一年级数学竞赛试题。3解法1：先运
12、用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。解法2：利用算术根基本性质对真数作变形，有 说明：乘法公式的恰当运用化难为易，化繁为简。4解：对于两个正数的大小，作商与1比较是常用的方法，记=a0，则有(+1)/(+1)(+1)/(+1)=(a/12)+1)/(a+1)(12a+1)/(a+1)=(a+12)(12a+1)/(12(a+1)2)=(12a2+145a+12)/(12a2+24a+12)1故得：(+1)/(+1)(+1)/(+1)5解：设lglog310=t，则lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t 而f(t)+f(-t)=f(-t)=8-f(t)=8-5=3说明：由对数换底公式可推出logablogba=(lgb/lga)(lga/lgb)=1，即logab=(1/logba)，因而lglog310与lglg3是一对相反数。设中的部分，则g(x)为奇函数，g(t)+g(-t)=0。这种整体处理的思想巧用了奇函数性质使问题得解，关键在于细致观察函数式结构特征及对数的恒等变形。6分析：（1）求y=(10x-10-x)/2的反函数首先用y把x表示出来，然后再对调x,y即得到y=f-1(x)；（2）判断函数y=f-1(x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义，看当XR时是否有f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0)
