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1、在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。早在 6 世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17 世纪之后，I.牛顿，J.-L.拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。插值问题的提法是：假定区间a，b上的实值函数 f（x）在该区间上 n1 个互不相同点x0， x1xn 处的值是 f x0，f（x
2、n ），要求估算 f（x）在 a，b中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有 n1 个参数 C0，C1，Cn 的函数类 (C0，C1，Cn) 中求出满足条件 P（xi）f（xi）（i0，1， n）的函数 P(x)，并以 P()作为 f()的估值。此处 f（x）称为被插值函数，c0，x1，xn 称为插值结(节) 点，(C0，C1，Cn)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，（C0， Cn）中满足上式的函数称为插值函数， R（ x） f（x）P（x）称为插值余项。当估算点属于包含 x0，x1xn 的最小闭区间时，相应的插值称为内插，否则称为外插。多项式插值 这是最常见的一种函数插值
3、。在一般插值问题中，若选取 为 n 次多项式类，由插值条件可以唯一确定一个 n 次插值多项式满足上述条件。从几何上看可以理解为：已知平面上 n1 个不同点，要寻找一条 n 次多项式曲线通过这些点。插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛顿插值多项式。埃尔米特插值 对于函数 f（x），常常不仅知道它在一些点的函数值，而且还知道它在这些点的导数值。这时的插值函数 P（x），自然不仅要求在这些点等于 f(x）的函数值，而且要求 P（x）的导数在这些点也等于 f（x)的导数值。这就是埃尔米特插值问题，也称带导数的插值问题。从几何上看，这种插值要寻求的多项式曲线不仅要通过
4、平面上的已知点组，而且在这些点（或者其中一部分）与原曲线“密切” ，即它们有相同的斜率。可见埃尔米特插值多项式比起一般多项式插值有较高的光滑逼近要求。分段插值与样条插值 为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法三次样条插值成为比较理想的工具。见样条函数。三角函数插值 当被插函数是以 2 为周期的函数时，通常用 n 阶三角多项式作为插值函数，并通过高斯三角插值表出。插值（Interpolation），有时也称为“重置样本”
5、，是在不生成像素的情况下增加图像像素大小的一种方法，在周围像素色彩的基础上用数学公式计算丢失像素的色彩。有些相机使用插值，人为地增加图像的分辨率。插值：用来填充图像变换时像素之间的空隙。如果您认为本词条还有待完善，需要补充新内容或修改错误内容，请 编辑词条贡献者（共 4 名）：zy19842006、 laner6810、 明明我心 521、lewuyang 问题的描述与基本概念 科学研究和生产实践中,人们经常遇到要求解某个未知函数的问题.在此类问题中,有些函数可以同专业知识,准确地求出来,而有些未知函数只知道变量 之间存在函数关系,其他方面知之甚少,因此要想求出这样的问题,通常人们采用实验的方
6、法先获得未知函数 y=f(x)在限个点 x0,x2,xn.上的值 fx0,fx1,fxn这相当给定一个数表若它满足插值条件（1），则有线性方程组它的变元为 a0,a1,am 由线性代数知识，有当 mn 时，线性方程组（2）有无穷多解，mn 时可能无解，只有当 m=n 时才能有唯一解，对同一组插值条件，最好有插值函数唯一，因此，对 n+1 个插值点一般选取 n 次多项式做插值多项式函数，此时在式（2）中有 m=n，且它的系数行列式为熟悉的范德蒙行列式因为插值节点互异，故 d0，故故（2）有唯一解，于是有定理 存在唯一一个满足插值条件（1）且次数n 插值多项式。插值的目的之一是对为知函数作近似计算
7、。当用插值函数来近似计算包含插值点 的最小闭区间的函数是，称为内插计算，否则称为外插或外推计算。（内插一般比外插精确，本章主要讨论内插）本章例（1）是内插问题。拟和 拟和问题可以描述为：已知函数 y=f（x）在a，b上的 n+1 个点处的函数值这里 不一定互异，然后根据在平面上由点对 画出的点图（常称为教点图）来选择用什么类型的函数作为逼近函数，若选定（x）为逼近函数，再通过拟和条件拟和法可以减少数据 fxi,i=0,1,n.的观测误差的影响，通常求出近似函数是一个表达式，且涉及大量数据点。本章的例（2）是拟和问题。插值和拟和都是由一组数据点构造一个近似函数。但它们的近似要求不同，导致其对应的
8、数学方法不同。一个实际问题。到底该选用插值还是拟和，可根据实际情况确定。插值和拟和都属于函数逼近范畴。插值法 插值法是函数逼近的一种重要方法，是数值计算的基本课题。本节只讨论具有唯一插值函数的多项式插值和分段多项式插值，对其中的多项式插值主要讨论 n 次多项式插值的方法，即给定 n+1 各点处的函数值后，怎样构造一个 n次插值多项式的方法。虽然理论上可以用解方程组（2）（那里 m=n）得到所求插值多项式，但遗憾的是方程组（2）当 n 较大时往往是严重是病态的。故不能用解方程组的方法获得插值多项式。本节介绍的内容有：lagrange 插值，newton 插值，hermite 插值，分段多项式插值
9、及样条插值。Lagrange 插值 Lagrange 插值是 n 次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的 方法解决了求 n 次多项式插值函数问题。 基本思想将待求的 n 次多项式插值函数 pn(x)改写成另一种表示方式，再利 用插值条件（1）确定其中的待定函数，从而求出杆值多项式。 Newton 插值Newton 插值也是 n 次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange 插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。 基本思想将待求的 n 次插值多项式 Pn（x）改写为具有承袭性的形式，然后利用插值条件（1）确定 Pn（x）的待定系数，以求出所要的插值函数。 Hermit
10、e 插值Hermite 插值是利用未知函数 f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的,起其提法为:给定 n+1 个互异的节点 x0,x1,xn上的函数值和导数值求一个 2n+1 次多项式 H2n+1(x)满足插值条件H2n+1(xk)=ykH2n+1(xk)=yk k=0,1,2,n (13)如上求出的 H2n+1(x)称为 2n+1 次 Hermite 插值函数,它与被插函数一般有更好的密合度.基本思想利用 Lagrange 插值函数的构造方法,先设定函数形式,再利用插值条件(13)求出插值函数.分段多项式插值插值多项式余项公式说明插值节点越多,误差越小，函数逐近越好，但后来人
11、们发现，事实并非如此，例如：取被插函数 ,在-5，5上的 n+1 个等距节点： 计算出 f(xk)后得到 Lagrange 插值多项式 Ln(x),考虑-5,5上的一点 x=5-5/n,分别取 n=2,6,10,14,18 计算 f(x),Ln(x)及对应的误差 Rn(x),得下表从表中可知,随节点个数 n 的增加,误差 lRn(x)l 不但没减小,反而不断的增大.这个例子最早是由 runge 研究,后来人们把这种节点加密但误差增大的现象称为 Ronge 现象.出现 Runge 现象的原因主要是当节点 n 较大时,对应的是高次插值多项式,此差得积累淹没了增加节点减少的精度.Ronge 现象否定
12、了用高次插值公式提高逼近精度的想法,本节的分段插值就是克服 Rounge 现象引入的一种插值方法.分段多项式插值的定义为定义 2: a=x0x1xn=b: 取a,b上 n+1 个节点 并给定在这些节点 上的函数值 f(xR)=yR R=0,1,n如果函数 (x)满足条件i) (x)在a,b上连续ii) (xr)=yR ,R =0,1,niii) (x)zai 每个小区间xR,xR+1是 m 次多项式, R=0,1,n-1 则称 (x)为 f(x)在a,b上的分段 m 次插值多项式实用中,常用次数不超过 5 的底次分段插值多项式,本节只介绍分段线性插值和分段三次 Hermite 插值,其中分段三
13、次 Hermite 插值还额外要求分段插值函数(x)在节点上与被插值函数 f(x)有相同的导数值,即 基本思想将被插值函数 fx的插值节点 由小到大 排序,然后每对相邻的两个节点为端点的区间上用 m 次多项式去近似 fx.例题例 1 已知 f（x）=ln（x）的函数表为：试用线性插值和抛物线插值分别计算 f（3.27）的近似值并估计相应的误差。解：线性插值需要两个节点，内插比外插好因为 3.27 （3.2，3.3），故选x0=3.2，x1=3.3，由 n=1 的 lagrange 插值公式，有所以有 ,为保证内插对抛物线插值，选取三个节点为 x0=3.2,x1=3.3,x2=3.4,由 n=2 的 lagrange 插值公式有故有所以线性插值计算 ln3.27的误差估计为故抛物线插值计算 ln3.27 的误差估计为：显然抛物线插值比线性插值精确。
