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1、3.7 切线长定理,瑞昌市赛湖学校 曹永,1.理解切线长的概念，掌握切线长定理 2.学会运用切线长定理解有关问题 3通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想,1.如何过O外一点P画出O的切线？,2.这样的切线能画出几条？,如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是O的切线.,3.如果P=50,求AOB的度数.,50,130,（,O,B,P,如何用圆规和直尺 作出这两条 切线呢？,.,思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则OAP=90, 连接OP，可知A,B 除了在O上，还在怎样的圆上?,O,P,A,B,O,在经过圆外一点作图的切线，这
2、点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.,O,P,A,B,切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？,切线长概念,切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2.切线长是线段的长。过圆外一点画圆的切线，这点到切点之间的线段长，叫切线长。该长度可度量.,比一比： 切线与切线长,O,A,B,P,1,2,思考：已知O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?,折一折,请证明你所发现的结论.,PA=PB,OPA=OPB,证明：连接OB,OA PA，PB与O相切，点A，B是切点， OAPA，OBPB.即OAP=OBP=90， OA=OB，
3、OP=OP， RtAOPRtBOP(HL) PA = PB， OPA=OPB.,证一证,切线长定理,PA，PB分别切O于A、B，PA=PB,OP平分APB.,过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.,几何语言:,反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法,PA =PB,OPA=OPB,A,P,O,B,若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.,OP垂直平分AB,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点， PA=PB，OPA=OPB. PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线. OP垂直平分AB.,试一试,A,P,O,.,
4、B,若延长PO交O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.,CA=CB,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点， PA = PB ，OPA=OPB. PC=PC. PCAPCB ，AC=BC.,C,.,P,B,A,O,（3）连接圆心和圆外一点,（2）连接两切点,（1）分别连接圆心和切点,反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.,想一想,探究：PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，直线OP交O于点D，E，交AB于点C.,B,A,P,O,C,E,（1）写出图中所有的垂直关系,OAPA，OB PB ABOP,（2）写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC
5、=APC=BPC,D,（,（,（,AOPBOP， AOCBOC， ACPBCP,（4）写出图中所有的等腰三角形,ABP AOB,（3）写出图中所有的全等三角形,B,A,P,O,C,E,D,【例1】如图，在RtABC中，C=90，AC=10，BC=24，O是ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，求O的半径.,O,解：连接OD,OE,OF，则OD=OF=OE,在RtABC中，AC=10，BC=24,AB=AC+BC 解得：AB=26,O分别与AB，BC，AC相切于D、E、F,ODAB，OEBC，OFAC， 且BD=BE,CE=CF,AD=AF,又C=90,四边形OECF是正方形 CE=CF=r,即
6、 BE=24-r，AF=10-r,AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r，而AB=26,34-2r=26 解得：r=4 O的半径为4.,【例题】,【例2】ABC的内切圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.,【解析】,设AF=x(cm),则AE=x(cm),CD=CE=AC-AE=(13-x)cm BD=BF=AB-AF=(9-x)cm,由BD+CD=BC可得 (13-x)+(9-x)=14,解得x=4, AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).,【例题】,1.（口答）如图所示
7、PA，PB分别切圆O于A，B，并与圆O的切线分别相交于C，D，已知PA=7cm， (1)求PCD的周长 (2)如果P=46,求COD的度数.,C, O,P,B,D,A,E,答案：14cm 67,【跟踪训练】,【例3】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和O分别相切于点L，M，N，P， 求证： AD+BC=AB+CD,证明：由切线长定理得 AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即AB+CD=AD+BC， 补充：圆的外切四边形的两组对边 的和相等,D,L,M,N,A,B,C,O,P,【例题】,1.如果PA=4cm,PD=2cm,求
8、半径OA的长.,4,2,x,x,【解析】设OA=xcm；,在RtOAP中，OA=xcm，OP=OD+PD=（x+2）cm，PA=4cm,由勾股定理，得 PA2+OA2=OP2，,即42+x2=(x+2)2,整理，得x=3,所以，半径OA的长为3cm.,【跟踪训练】,A,B,C,D,E,F,2.设ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆I和BC,AC,AB分别相切于点D,E,F. 求AE,CD,BF的长.,.,I,【解析】设AE=x，BF=y，CD=z,答：AE ,CD ,BF的长分别是9,2,6.,1（珠海中考）如图，PA,PB是 O的切线， 切点分别是A,B，如果P60,那么AOB
9、等 于（ ）,A.60 B.90 C.120 D.150,C,2.（杭州中考）如图，正三角形的内切圆半径为1， 那么这个正三角形的边长为（ ） A2 B3 C D,【解析】选D.如图所示，连接OA,OB，则三角形AOB是 直角三角形，且OBA=90,OAB=30,又因为内切 圆半径为1，利用勾股定理求得AB= ,那么这个正三角 形的边长为 .,切线的6个性质： （1）切线和圆只有一个公共点. （2）切线和圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于过切点的半径. （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点. （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. （6）切线长定理.,通过本课时的学习，需要我们掌握：,作业：P95 习题3.9第1、2题,
