《数列的综合应用资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列的综合应用资料（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十六节数列的综合应用 自我反馈1已知正项等差数列an满足：an1an1a(n2)，等比数列bn满足：bn1bn12bn(n2)，则log2(a2b2)()A1或2B0或2C2 D1解析：选C由题意可知，an1an12ana，解得an2(n2)(由于数列an每项都是正数)，又bn1bn1b2bn(n2)，所以bn2(n2)，log2(a2b2)log242.2已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1若a61，则m所有可能的取值为()A4,5 B4,32C4,5,32 D5,32解析：选Can1注意递推的条件是an(而不是n)为偶数或奇数由a61一直往前面推导可得a14或5或32.3在等差
2、数列an中，a12，a36，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为_解析：由题意知等差数列an的公差d2，则a48，a510，设所加的数为x，依题意有(8x)2(2x)(10x)，解得x11.答案：114某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_解析：设每天植树的棵数组成的数列为an，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得100，即2n51，而2532,2664，nN*，所以n6.答案：65已知数列an的前n项和为Sn，且Snn2，数列bn为等比数列，且首
3、项b11，b48.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若数列cn满足cnabn，求数列cn的前n项和Tn.解：(1)数列an的前n项和为Sn，且Snn2，当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1.当n1时，a1S11亦满足上式，故an2n1(nN*)又数列bn为等比数列，设公比为q，b11，b4b1q38，q2.bn2n1(nN*)(2)cnabn2bn12n1.Tnc1c2c3cn(211)(221)(2n1)(21222n)nn.所以Tn2n12n.考向一等差数列与等比数列的综合问题【典例1】(2016济南模拟)已知an是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b
4、4=20,且bn-an是等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式.(2)求数列bn的前n项和.【母题变式】1.若本例题条件“bn-an是等比数列”变为“bn-an是等差数列”,其他条件不变,求数列bn的通项公式.2.若本例题条件“b1=4,b4=20,且bn-an是等比数列”变为“an+2an-1= ”,求数列bn的通项公式.【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不
5、能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.【变式训练】(2016天津模拟)已知等差数列an的公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则 =()A.2 B.3 C.5 D.6【加固训练】1.等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则公比q为()A.-2 B.1C.-2或1 D.2或-12.(2016泰安模拟)已知数列an是公差大于零的等差数列,数列bn为等比数列,且a1=1,
6、b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.(1)求数列an和bn的通项公式.(2)设cn=anan+1,求数列 的前n项和Tn.因为d0,所以d=2,q=2,an=1+2(n-1)=2n-1,bn=22n-1=2n,即an=2n-1(nN*),bn=2n(nN*).考向二数列中的图表问题【典例2】(1)(2016德州模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵:12345678910按照以上排列的规律,第n行(n3)从左向右的第3个数为_.(2)(2016太原模拟)下表是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8.a
7、1,1a1,2a1,3a1,4a2,1a2,2a2,3a2,4a3,1a3,2a3,3a3,4a4,1a4,2a4,3a4,4求数列an,2的通项公式.【解题导引】(1)求出第n行(n3)从左向右的第3个数为原数列的第几项,再求解.(2)构造方程组求出等差数列的公差与等比数列的公比.(2)设第一行组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q0),则a2,3=qa1,3=q(1+2d)q(1+2d)=6,a3,2=q2a1,2=q2(1+d)q2(1+d)=8,解得d=1,q=2.a1,2=2an,2=22n-1=2n.【规律方法】数列中常见的图表问题及解题关键(1)分组型:数
8、列的通项公式已知,将其按照一定的规则排列而成.解决这类问题的关键是找出图表或数阵中的项在原数列中的位置.(2)混排型:图表或数阵中的行与列分别对应不同的数列.解决这类问题的关键是找出各个数列,将所求问题所在行或列的基本量求出.(3)递推公式型:图表或数阵是按某种递推关系得到的,解决这类问题的关键是求出递推公式,再由递推公式求出通项公式.【变式训练】(2016青岛模拟)下面给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列数为aij(i,jN*),则a43=_.【加固训练】1.(2016北京模拟)已知an=( )n,把数列an的各
9、项排列成如下的三角形形状.a1a2a3a4a5a6a7a8a9记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=()2.(2016合肥模拟)正整数按下列方法分组:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,记第n组中各数之和为An;由自然数的立方构成下列数组:03,13,13,23,23,33,33,43,记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn,则An+Bn=_.【解析】由题意知,前n组共有1+3+5+(2n-1)=n2个数,所以第n-1组的最后一个数为(n-1)2,第n组的第一个数为(n-1)2+1,第n组共有2n-1个数,所以根据等差数列的前n项和公
10、式可得3.(2016保定模拟)将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,构成的数列为bn,b1=a1=1. Sn为数列bn的前n项和,且满足 =1(n2). (1)证明数列 成等差数列,并求数列bn的通项公式.(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a81= 时,求上表中第k(k3)行所有项的和.考向三数列的实际应用问题【典例3】(2016日照模拟)某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购车,银行贷款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息
11、计入次年的本金生息).若这笔款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元?【规范解答】设每年还款x元,需10年还清,那么各年还款利息情况如下:第10年付款x元,这次还款后欠款全部还清;第9年付款x元,过1年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)元;第8年付款x元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)2元;第1年付款x元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)9元.10年后应还款总数为20000(1+10%)10.【一题多解】第1次还款x元之后欠银行20000(1+10%)-x=200001.1-x,
12、第2次还款x元后欠银行20000(1+10%)-x(1+10%)-x=200001.12-1.1x-x,【规律方法】解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表:数列模型基本特征等差数列均匀增加或者减少等比数列指数增长,常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为20%,每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销,即数列an满足an+1=1.2an-a(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时
13、要注意运算准确.(3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.易错提醒:解决数列应用问题,要明确问题属于哪一种类型,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,是求an还是Sn,特别是要弄清项数.【变式训练】某市2015年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2015年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?(参考数据:1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59)答:到2024年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房的面积构成数列bn,由题意可知,bn是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=4001.08n-1.由题意可知an0.85bn,有250+(n-1)504001.08n-10.85.当n=5时,a50
