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1、1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及相互关系3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系4充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果pq，qp，则p是q的充要条件1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“x22x31”是真命题B逆命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”是假命题C逆否命题“若m1，则函数f
2、(x)exmx在(0，)上是减函数”是真命题D逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题思维启迪(1)可化简复数z，再利用复数的知识判断命题真假；(2)利用四种命题的定义判断四种命题形式是否正确，可利用四种命题的关系判断命题是否为真答案(1)C(2)D解析(1)z1i，所以|z|，p1为假命题；z2(1i)2(1i)22i，p2为真命题，1i，p3为假命题；p4为真命题故选C.(2)命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题思维升华(1)熟悉四种命题的概念是正确
3、书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例(1)命题“若，则cos ”的逆命题是()A若，则cos B若，则cos C若cos ，则D若cos ，则(2)命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数答案(1)C(2)C解析(1)命题“若，则cos ”的逆命题是“若cos ，则”(2)由于“x，
4、y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.题型二充要条件的判定例2已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是()Ap：m2或m6；q：yx2mxm3有两个不同的零点Bp：1；q：yf(x)是偶函数Cp：cos cos ；q：tan tan Dp：ABA；q：AU，BU，UBUA思维启迪首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断答案D解析对于A，由yx2mxm3有两个不同的零点，可得m24(m3)0，从而可得m6.所以p是q的必要不充分条件
5、；对于B，由1f(x)f(x)yf(x)是偶函数，但由yf(x)是偶函数不能推出1，例如函数f(x)0，所以p是q的充分不必要条件；对于C，当cos cos 0时，不存在tan tan ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于D，由ABA，知AB，所以UBUA；反之，由UBUA，知AB，即ABA.所以pq.综上所述，p是q的充分必要条件的是D.思维升华充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否
6、定形式给出的问题，如“xy1”是“x1或y1”的何种条件，即可转化为判断“x1且y1”是“xy1”的何种条件(1)(2012福建)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()Ax Bx1Cx5 Dx0(2)设集合AxR|x20，BxR|x0，则“xAB”是“xC”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案(1)D(2)C解析(1)a(x1,2)，b(2,1)，ab2(x1)212x.又abab0，2x0，x0.(2)因为Ax|x20x|x2(2，)，Bx|x0x|x2(，0)(2，)即ABC.故“xAB”是“xC”的充要条件. 题型三
7、充分条件与必要条件的应用例3 (1)函数f(x)有且只有一个零点的充分不必要条件是()Aa0 B0aC.a1(2)设p：|4x3|1，q：x2(2a1)xa(a1)0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A. B.C(，0 D(，0)思维启迪(1)根据图象交点先求得f(x)有一个零点的充要条件，再利用“以小推大”(集合间关系)判定；(2)考虑条件所对应集合间的包含关系答案(1)A(2)A解析(1)因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点函数y2xa(x0)没有零点函数y2x(x0)与直线ya无公共点由数形结合，可得a0或a1.观察选项，根据集合间关系a
8、|a1，答案选A.(2)p：|4x3|114x31，x1；q：x2(2a1)xa(a1)0(xa)x(a1)0，axa1.由题意知p是q的充分不必要条件，故有或，则0a.思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验(1)若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为_(2)已知命题p：实数m满足m212a20)，命题q：实数m满足方程1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为_答案(1)
9、1(2)解析(1)由x21，得x1.又“x21”是“xa”的必要不充分条件，知由“x1”，反之不成立，所以a1，即a的最大值为1.(2)由a0，m27am12a20，得3am4a，即命题p：3am0.由1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2mm10，解得1m，即命题q：1m.因为p是q的充分不必要条件，所以或解得a，所以实数a的取值范围是.等价转化思想在充要条件中的应用典例：(12分)已知集合Ay|yx2x1，x，2，Bx|xm21p：xA，q：xB，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围思维启迪(1)先对集合进行化简；(2)将条件间的关系转化为集合间的包含关系；(3)利用集合间的关系列出关于m的不等式，求出实数m的范围规范解答解化简集合A，由yx2x1.配方，得y2.x，ymin，ymax2.y.A.4分化简集合B，由xm21，得x1m2，Bx|x1m26分命题p是命题q的充分条件，AB.8分1m2，解得m，或m.11
