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1、1.1.7 柱、锥、台和球的体积示范教案教学分析本节教材介绍了祖暅原理，并利用长方体体积推导出了柱体的体积公式利用柱体体积推导出了锥体和台体的体积直接给出了球的体积公式值得注意的是教学重点放在体积的计算和应用，尽量在体积公式的推导上少“纠缠”三维目标1掌握柱、锥、台和球的体积公式，培养学生的探究能力2能够利用体积公式解决有关应用问题，提高学生解决实际问题的能力重点难点教学重点：体积的计算和应用教学难点：体积公式的推导课时安排1课时导入新课设计1.我们在初中的学习中已经会根据长方体的长、宽、高来计算长方体的体积了，那么，棱柱、棱锥、棱台以及圆柱、圆锥、圆台的体积如何计算呢？设计2.被誉为世界七大
2、奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔的，真是一个十分难解的谜胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230.4米，塔高146.6米，假如知道每块石块的体积，你能计算出建此金字塔用了多少石块吗？推进新课(1)回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？,(2)比较柱体、锥体、台体的体积公式：,V柱体Sh(S为底面积，h为柱体的高)；,V锥体 (S为底
3、面积，h为锥体的高)；,V台体 (Sr(SS)S)h(S、S分别为上、下底面积，h为台体的高).,你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？讨论结果：(1)棱长为a的正方体的体积Va3a2aSh；长方体的长、宽和高分别为a、b、c，其体积为Vabc(ab)cSh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是Vr2hSh，可以类比，一般的柱体的体积也是VSh，其中S是底面面积，h为柱体的高圆锥的体积公式是VSh(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的.棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的，即棱锥的体积VSh(S为底面面积，h为
4、高)由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的.由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台(棱台)的体积公式V(SS)h，其中S、S分别为上、下底面面积，h为圆台(棱台)高注意：不要求推导公式，也不要求记忆(2)柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体当S0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式；当SS时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体
5、可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系，如下图：思路1例1如下图所示，在长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比解：已知长方体可以看成直四棱柱ADDABCCB，设它的底面ADDA面积为S，高为h，则它的体积为VSh.因为棱锥CADD的底面面积为S，高是h，所以棱锥CADD的体积VCADDShSh.余下的体积是ShShSh.所以棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为15.变式训练已知一正四棱台的上底边长为4 cm，下底边长为8 cm，高为3 cm.求其体积解：V(S上S下)h
6、(4282)3112(cm3)即正四棱台的体积为112 cm3.例2有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(下图)，共重5.8 kg.已知螺帽的底面六边形边长是12 mm，高是10 mm，内孔直径是10 mm，这一堆螺帽约有多少个(铁的密度是7.8 g/cm3，3.14)?解：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆柱的体积的差因为V正六棱柱612(12sin60)103122103.74103(mm3)，V圆柱3.14(102)2100.785103(mm3)，所以一个螺帽的体积V3.741030.7851032.96103(mm3)2.96(cm3)因此约有5.8103(7.82.96)2.5
7、102(个)答：这堆螺帽约有250个变式训练埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥金字塔高146.6 m，底面边长230.4 m问这座金字塔的侧面积和体积各是多少？解：如下图，AC为高，BC为底面的边心距，则AC146.6，BC115.2，底面周长c4230.4.S侧面积cAB4230.485 916.2(m2)，VSAC230.42146.62 594 046.0(m3)答：金字塔的侧面积约是85 916.2 m2，体积约是2 594 046.0 m3.思路2例3如下图所示，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个
8、几何体的体积为()A1 B. C. D.活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征解析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，下图所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PAAB，PAAC，ABAC.则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为VSABCPA1.答案：D点评：本题主要考查几何体的三视图和体积给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视变式训练1如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为
9、()A. B. C. D.解析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为，所以这个几何体的体积为V12.答案：A2.已知某几何体的俯视图是如下图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥设底面矩形为ABCD.如下图所示，AB8，BC6，高VO4. (1)V(86)464.(2)设四棱锥侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，侧
10、面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，在VBC中，BC边上的高为h14，在VAB中，AB边上的高为h25.所以此几何体的侧面积S2(6485)4024.点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式：一是给出三视图，求其面积或体积；二是与组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问，求出几何体的面积或体积3（2008 山东省烟台市高三期末统考，文6）已知一个全面积为24的正方体，内有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为 ()A. B4 C. D.解析：设正方体的棱长为a，则6a224，解得a2，又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的截面对角线长2等于球的直径，则球的半径是，则此球
11、的体积为()3.答案：D点评：球与其他几何体的简单组合体问题，通常借助于球的截面来明确构成组合体的几何体的结构特征及其联系，本题利用正方体的面的对角线长等于球的直径这一隐含条件使得问题顺利获解1三个球的半径之比为123，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 ()A1倍 B2倍 C.倍 D.倍解析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r，则另两个为2r、3r，所以各球的表面积分别为4r2、16r2、36r2，(倍)答案：C2（2008天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_解析：长方体的对角线
12、为，则球的半径为，则球的表面积为4()214.答案：143一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4，则该正方体的表面积为_解析：4R3，R(R为球的半径)a2R2.a2(a为正方体棱长)S表6a224.答案：244.如下图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：(1)球的体积等于圆柱体积的；(2)球的表面积等于圆柱的侧面积活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形证明：(1)设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.则有V球R3，V圆柱R22R2R3，所以V球V圆柱(2)因为S球4R2，S圆柱侧2R2R4R2，所以S球S圆柱侧
13、5养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的侧面积；(3)哪个方案更经济些？解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V1Sh()24(m3)如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2Sh()28(m3)(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m棱锥的母线长为l4.则仓库的表面积S18432(m2)如果按方案二，仓库的高变成8 m，棱锥的母线长为l10，则仓库的侧面积S261060(m2)(3)V2V1，S2S1，方案二比方案一更加经济1如左下图，一个正三棱柱形容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如右下图，这时水面恰好为中截面，则左下图中容器内水面的高度是_分析：右上图中容器内水面的高度为h，水的体积为V，则VSABCh.又右上图中水组成了一个直四棱柱，其底面积为SABC，高度为2a，则VSABC2a，ha.答案：a2圆台的两个底面半径分
