《伽罗瓦与群论》课件

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1、1,伽罗瓦与群论,2,了解一下,3,伽罗瓦,4,伽罗瓦的成就,5,群的概念,6,1,1 对称性的意义,在非相对论量子力学，经常使用外场的概念，外场存在使系统对称 性降为外场的几何对称性，全同粒子的置换对称性对多体问题是重要的。 因此，这两种对称性对于原子，原子核，分子和固体系统的理论，具有 重要的意义。 1.2，对称变换 在量子力学中，一个系统的状态用波函数（r）来描述，现考查在 空间变换和粒子的置换变换下波函数的导出形式，以及对称变换的条 件。 用f表示坐标空间的一个变化，它使r变成 记为 f 可以是平移a，绕z轴转角，或对原点的反演，具体表示为： 平移,7,1,1 对称性的意义,绕z轴转动

2、 和反演 当坐标空间发生变化时，系统的状态波函数也会发生变化，变为 ， 在 处的值即为在r处的值，可写为,8,1,1 对称性的意义,若将fr记为r，r就变为 ，上式可以写为 （1.2） 波函数（r）变为 的变换，也可以用一个算符 来表示，记为 也可写为 ，这式可以看成算符 的定义。 当f为空间反演时， 便是宇称算符， ， 当f是空间平移时， 是平移算符，从（1.2）式出发，利用泰勒展开可 以推出平移算符的显式为 其中 是动量算符。,9,1,1 对称性的意义,当f为空间转动时，取转动矢量为 ，它的方向为转轴方向，是 转角的大小， 为转动算符。其显式为 ， 其中, 为角动量算符。 对给定系统，变换

3、是否对称变换要由系统的运动方程在 作用下是 否改变来决定，即要看和 是否满足同一方程，设满足Schrodinger方程， （1.3） 是系统的Hamilton算符。,10,1,1 对称性的意义,假定 是一个与t无关的算符，将其作用在方程（1.3）的两边，得 （1.4） 从上两式看出，和 满足同一方程要求 （1.5） 上式表明，一个变换是对称变换的必要而充分的条件是这变换算符与 系统的Hamilton算符对易。 在量子力学中，全同粒子是不可区分的，当两个粒子交换时，系统的 Hamilton量不变，因此，在任何情况下，全同粒子的置换变换是对称变 换。,11,1,1 对称性的意义,1.3，对称性与守

4、恒定律 在物理学的研究中，守恒定律具有非常重要的作用。人们经常观测到 某些物理量在变化过程中总是不变的，这些量就是守恒量。守恒定律与 对称性之间有密切关系。 关于守恒定律与对称性之间的联系，最早由Jacobi在1842年所注意， 他用拉氏函数描述经典力学系统时，从拉氏函数在平移下不变，导出线 动量守恒。在转动运动下不变，给出角动量守恒。1887年schatz从拉氏 函数的时间平移不变，得到能量守恒。 现在人们都习惯用Hamilton量而不是用拉氏函数讨论对称性与守恒定 律的联系，因它在量子力学中更为方便。不管在经典力学还是量子力学 中，线动量，角动量和能量的守恒都来自Hamilton量在平移、

5、转动和时 间平移下的对称性，更暜遍地说，物理系统的任一个守恒定律都对应哈 密顿量在相应变换群下是不变的。反过来不能说一种对称性一定存在一 个守恒定律，例如时间反演对称性就没有相应的守恒定律。,12,1,1 对称性的意义,Wigner指出，在量子力学中，对称变换都对应一个幺正算符或反幺正 算符，对幺正算符则伴随守恒律，若在反幺正变换下就没有明确的守恒 律，如时间反演，但会带来其它的限制。 如果描述粒子相互作用的哈密顿量，在一个幺正变换下是不变的，则 我们能看到系统的散射矩阵在这变换下也不变，即反应截面不变。例如 研究两个极化电子束的散射，当极化电子束平行与反平行于束方向时， 相互作用哈密顿量不变

6、则马上可以推出这两种反应截面相同。当然这结 果可以利用量子场论计算给出。 在有些情况下，相互作用性质不清，真实的哈密顿量写不出来，但利 用对称性也能预言某些结果，例如，质子质子的散射，核力的细节不 清，相互作用H写不出来，但利用对称性仍然能预言极化质子平行与反 平行于束方向极化，其散射微分截面相等。 对称性的讨论还能给出某些跃迁过程的选择定则，这些选择定则使我 们能预言反应是否能发生。例如，在任何反应中，总电荷守恒，即反应 中有以下选择定则 。,13,1.2, 对称性与群,一个几何图形或物理系统的对称性可以用它的对称变换 的集合来描述，这对称变换集合具有明显的数学性质： 1) 任何两个对称变换

7、接连发生（相乘）所得变换仍是一 个对称变换； 2） 当几个对称变换相继连续发生时，在不改变次序的 条件下，可以将其随意组合（结合律）； 3）恒等变换是对称变换（单位元素）; 4) 对称变换的逆变换也是对称变换。 具有以上性质的集合，数学中称为群。因此，对称变换的性 质可以利用群来研究。,14,1.2, 对称性与群,例如，绕定点的空间转动，它有以下性质; (1) 一个物体连续进行两次转动，一定相当从开始到末了绕某轴的一次转动； (2) 如果连续完成三次转动，它可以先完成前一次转动然后完成一个等于后两次的转动，也可以先完成等于前两次转动再完成后一次转动，即转动变换满足结合律； (3) 转动角度为零

8、为恒等变换，相当单位元素； (4) 如果绕某轴转动角，一定可以绕同轴转动-而复原，第二次转动为第一次转动的逆元素。 这样所有的转动的集合构成一个群，称为转动群， 记为SO（3）。,15,1.2, 对称性与群,空间转动可以连续变化，它是连续群。如果群元素都可以 表示为一组参数的函数，而且函数可微，这群称为李群，李 群在物理学中广泛使用。 几何图形对称变换形成的群常是不连续的，有限的。例 如利用以下六种操作可保持 平面正三角形不变： e 是不转 ， a 为 绕轴1转 ， b 为绕轴2转 ， c 是绕轴3转 ， d为 绕垂直轴z逆时钟转2 /3， f是 绕z轴顺时钟转2 /3。 它们构成一个6元素的

9、群 ，不难证明 满足群的四点要求。 总之对称变换，与代数中的群密切相关，因此人们可以通 过研究群的性质来了解物理中的系统各种对称性质。,16,1.3 对称性的分类,在物理学中有多种不同的对称性，根据它们性质与原因不同，可以分 为三类: 一种是客观存在严格对称性，另一种是不严格的近似对称性，还 有一种是为了讨论问题而引入的，称为模型对称性。下面分别介绍。 3.1，严格对称性 对我们来说最熟悉的严格对称性是空间、时间平移及空间转动对称 性，可以证明它们对应动量、能量和角动量守恒。 还有一种对称性是来自相对论的Lorentz变换下的不变性，即两个相对 以匀速直线运动坐标系之间变换具有不变性，英语中称

10、为Boost，与 Boost有关的物理守恒定律不太有用，因一般物理系统角动量守恒，而角 动量算符与Boost相联系的算符不对易，因此不能从Boost联系的守恒定 律给出有用的选择定则。 以上四种对称性，十个守恒量组合起来称为在非均匀Lerentz变换下的 对称性，这种对称性目前在物理领域认为是精确的，相应的时空是平滑 的。,17,1.3 对称性的分类,另一类严格对称性是在总体规范变换下的不变性，或称第一类规范不变 性。这种对称性联系着电荷（Q）守恒，重子数（B）守恒与轻子数（L） 守恒， 所谓规范变换，在学习电磁场理论时有一个例子，电磁规律具有 Lorentz规范不变性，就是当利用矢势 和标势

11、描述电磁场时， 和 做以下变换; 是任一标量函数，给出同样的电场强度和磁场强度。就说电磁 规律在Lorentz规范变换下具有不变性。这种规范变换意味着静电势的零 点可以任意取。则在电荷守恒下能量守恒。 重子数守恒也是一种规范变换下的不变性，即重子数规范变换下具有 不变性，即当 时系统的性质不变。因系统的相互作用能 量是依赖于 ，因此与相因子无关，其中B是重子数。即表明不同 重子数态的相因子不可区分。,18,1.3 对称性的分类,当 时，相应系统的Hamilton量变换为 若方程不变有 则 ， 所以，【B，H】=0。 在量子力学中知道，任何一个力学量，若与Hamilton量对易，就为守恒量。因此

12、重子数是守恒量。类似可以证明电荷数和轻子数守恒。重子数、轻子数和电荷数守恒已为大量实验事实所证明。,19,1.3 对称性的分类,除总体规范变换下不变性外，电磁相互作用在定域规范变 换下是不变的，如果假定Hamilton量是在总体规范变换下不 变，而不是在定域规范变换下不变，则对称性就不是精确 的，现在已有一种理论推测重子数、轻子数守恒只是一个近 似守恒定律，这理论就是所谓大统一理论。 下面介绍与全同粒子交换有关的对称性，由于全同粒子是 不可区分的，因此全同粒子系统的所有可观测量都是相对于 全同粒子交换是对称的，否则我们可以利用这个可观测量来 区分全同粒子。量子力学状态常用一组力学量的本征值来表

13、 征，因此，量子力学状态，在全同粒子交换下应有确定的对 称性质。从实验所知，具有整数自旋的全同粒子系统，当两 个粒子交换时状态是对称的；而具有半整数自旋的全同粒子 系统，当两个粒子交换时，状态是反对称的。全同粒子状态 这些性质构成一个定律，称自旋-统计定律。,20,1.3 对称性的分类,3.2 近似对称性 前面讨论严格对称性是对所有相互作用都成立的，至少对强相互作用，电磁作用，和弱相互作用是如此。下面介绍一些对称性只是近似的，或者说只在某些作用下成立，而在另外作用下不成立。但在近代物理中人们对它们具有更大的兴趣。 首先要介绍的是坐标空间的反演对称性，它对应的守恒量就是宇称守恒。 在1957年以

14、前，人们认为空间左右对称性是严格的，直到李政道和杨振宁提出弱相互作用下宇称不守恒，尔后为吴健雄等人实验所证明时，才知道空间反演对称性是近似的，只在强相互作用和电磁相互作用下成立。 另一种近似对称性，是正反粒子相互替换的对称性，或称电荷共轭变换C，与这对称性有关的守恒定律就是电荷共轭宇称，或C宇称。,21,1.3 对称性的分类,它也只在强相互作用和电磁相互作用下成立，而弱相互作 用下不成立。至于CP联合变换，P是坐标空间的反演，原来 认为CP联合变换在弱相互作用下成立，但1964年人们从 介子衰变中发现它在弱相互作用下也不成立，它也是一个近 似对称性。 下面考虑时间反演（T）下的对称性，在量子力

15、学中，时 间反演是一个反幺正变换，因此，没有相应的守恒定律， 人们从 介子衰变实验结果分析中给出T变换在弱相互作用 中不是严格对称的。单独证实T违反是困难的，现在都通过 CPT定律来证明。在量子场论中，可以证明CPT联合变换是 严格对称的，应有CPT定律，若CP不变，T也不变。因C和P 相应幺正变换，T相应反幺正变换，则CPT对称性是反幺正 的，所以它没有相应的守恒定律。但CPT联合变换下不变性 有些重要的推论，例如，一个结果是正反粒子的质量相等。,22,1.3 对称性的分类,3.3 模型对称性 在近代物理中，常引入一些模型，原子、分子、原子核或基本粒子， 在这模型空间中具有某种对称性，对称性质的研究，可以给出这些微观 粒子的结构和能谱的某些知识。 例如，基本粒子中的Quark模型，认为基本粒子是由Quank组成，在粲 数粒子没发现之前，认为Quark有三味，它们构成SU（3）群基础表示的 基矢，基本粒子可以用SU（3）群的一维、八维和十维表示来分类。 又如原子核低激发谱的U(6)模型，对于偶偶核，两个核子耦合成玻色 子，用玻色子来模拟费米子对，s和d六种玻色子形成SU（6）群的基 底，利用玻色子相互作用，而给出原子核的振转能谱。 在原子核的相互作用玻色子模型启发下，人们提出了双原子分子的 U(4)模型和三原