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1、,二次函数复习,编辑整理：冀老师,说一说：通过二次函数的学习， 你应该学什么？你学会了什么？,1、理解二次函数的概念；,2、会用描点法画出二次函数的图象；,3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向， 对称轴，顶点坐标；,4、会用待定系数法求二次函数的解析式；,5、能用二次函数的知识解决生活中的实际问题 及简单的综合运用.,我思考，我进步,想一想,一、二次函数的定义,1.定义：一般地,形如 y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数.,2.定义要点: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二
2、次项.,如： yx2， y2x24x3 ， y1005x2，y=2x25x3 等等都是二次函数.,由，得：,由，得：,解：根据题意，得,-1,抛物线,形如:y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a0)的函数叫二次函数.,我思考，我进步,想一想,（一）形如y = ax 2 (a0) 的二次函数,向上,向下,X=0,(0,0),我思考，我进步,想一想,X,y,o,1,1. y=4x2,2,2. y=2x2,3,3. y=x2,4,4. y=0.5x2,X,y,O,5,6,7,8,5、y=-4x2,6、y=-2x2,7、y=-x2,8、y=-0.5x2,我思考，我进步,想一想,你发现开口 大小与谁
3、有关？,巩固练习1： （1）抛物线y= x2的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第 象限 ；,上,Y轴,(0,0),1、2,-1,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,（3)已知y = - nx 2 (n0) , 则图象 ( ) 过点A（-2，3）. （填“可能”或“不可能”）,不可能,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,（二）形如y = ax 2+k (a0)的二次函数,X=0,（0，c）,我思考，我进步,想一想,x,y,o,1,2,-1,-2,y=2X2,y=2X2+1,y=2X2+2,y=2x2-1,y=2x2-2,Y=ax2 +k (a 0 ),我思考，我进步,想一想,巩固练习2： （1）抛物线y
4、= x 2+3的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由抛物线y = x 2向 平移 个单位得到的；,上,X=0,（0，3）,上,3,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,（2）已知抛物线y = ax2+k的图象(如图），则a 0， k 0； 若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = , k = ； 函数关系式是y = .,-2,x 2 - 2,（三）、形如y = a (x-h) 2( a0 ) 的二次函数,向上,向下,X = h,（h,0）,我思考，我进步,想一想,y=2x2,y=2(x-1)2,y=2(x-2)2,y=2(x+1)2,y=2(x+2)2,y=a(x-h)2 (a0),我思
5、考，我进步,想一想,练习巩固3： y = - 2(x+3) 2的开口向 ，对称轴是 , 顶点坐标是 ，,下,x=-3,（-3，0）,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,（2）如图是y = a（x-h）2的图象，则a 0，h 0 ； 若图象过A (2，0) 和B (0，-4) 则a = , h = ； 函数关系式是y = .,-1,2,-（X-2）2,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,(四) 形如y = a (x-h) 2 +k (a 0) 的二次函数,a 0,a 0,x=h,（h，k）,我思考，我进步,想一想,练习巩固4: （1）抛物线 y = 2 (x -1/2 ) 2+1 的开口向 , 对称轴 , 顶点坐标
6、是 ； （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0, m 0, n 0.,上,X=1/2,（1/2，1）,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,Y =2x2,Y=2(x-1)2,Y=2(x-1)2+2,Y=a(x-h)2+k,Y=2(x-1) +2的图象可看作是由y=2x 的图象经过怎样平移得到的?,2,2,y=2x2,y=2x2+2,y=2(x-1)2+2,y=a(x-h)2+k,观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x2-6x+7的图象 是怎样由y=x2的图象平移得到的？,y=x2-6x+7,=x2-6x+9-2,=(x-3)2-2,y = ax2,y
7、 = ax2 + k,y = a(x h )2,y = a( x h )2 + k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同,位置不同.,各种形式的二次函数的关系,二、二次函数的图象及性质,当a0时开口向上，并向上无限延伸； 当a0时开口向下，并向下无限延伸.,(0,0),(0,c),(h,0),(h,k),直线,y轴,在对称轴左侧，y随x的增大而减小,在对称轴右侧，y随x的增大而增大,在对称轴左侧，y随x的增大而增大,在对称轴右侧，y随x的增大而减小,y轴,直线x=h,直线x=h,x=h时 ymin=0,x=h时 ym
8、ax=0,x=h时 ymin=k,x=h时 ymax=k,基础练习,1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为 _,2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位,再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式为： _,y=2(x+2)2-3,=2x2+8x+5,y= - 3(x-1-4)2+2+3,=-3x2+30x-70,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 当0时，抛物线与x轴没有交点
9、； 当=0时，抛物线与x轴只有一个交点； 当 0时，抛物线与x轴有两个交点，且其解析式可写成两根式：y=a(x-x1)(x-x2).,抛物线与x轴的两个交点的距离公式： x1-x2 ,该公式推导方法有两种：一是求根公式； 二是韦达定理.,1、a决定了抛物线的和； 2、对称轴由决定； 3、c决定了图象与_轴的交点位置.,开口方向,形状,a和b,y,当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成立.,我思考，我进步,想一想,抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点的位置是由常数项c决定的. 1、C 0 抛物线与y轴 相交于正半轴； 2、C =0 抛物线与y轴 上正下负 相交
10、于原点； 3、 C0 抛物线与y轴 相交于负半轴；,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的位置是由a和b联合决定的,a与 b同号 对称轴在y轴的左侧； a与 b异号 对称轴在y轴的右侧； 左同右异 b=0 对称轴就是y轴.,b2-4ac0 抛物线与x轴有2个交点； b2-4ac=0 抛物线与x轴有1个交点； b2-4ac0 抛物线与x轴没有交点.,抛物线与x轴交点的个数由b2-4ac的 符号决定,二次函数y=ax2+bx+c的值恒大于0（或恒小于0）的条件,y恒大于0 a0 b2-4ac0 y恒小于0 a0 b2-4ac0,二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是 （- , ),顶点在x轴上 =
11、0 即b2-4ac=0 顶点在 y轴上 - =0 即b=0,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的系数a，b，c与图象的关系,a决定开口方向：a时,开口向上，a时,开口向下,a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 b时对称轴是y轴,c决定抛物线与y轴的交点：c时抛物线交于y轴的正半轴 c时抛物线过原点 c时抛物线交于y轴的负半轴,二次函数的图象和性质总结,(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,有两个交点,有两个不相等的实数根,b2-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b
12、2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,我思考，我进步,想一想,3.说说下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.,y= -2x2 - 4x - 6,y=x2 - 2x + 1,解:y=x2-2x+1 =(x-1)2,因为a=10, 所以开口向上,对称轴:直线x=1,顶点坐标:(1,0),解:y= -2x2-4x-6 = -2(x2+2x+1+2) = -2(x+1)2-4,因为a=-20, 所以开口向下,对称轴:直线x=-1,顶点坐标:(-1,-4),业精于勤荒于嬉,小试牛刀,2.选择 抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_. A 直线x=1 B 直线x= -1 C 直线x
13、=2 D 直线x= -2 (2)抛物线y=3x2-1的_ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点,c,B,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,(3)若y=ax2+bx+c(a 0)与x轴交于点A(2,0), B(4,0),则对称轴是_ A直线x=2 B直线x=4 C直线x=3 D直线x= -3 (4)若y=ax2+bx+c(a 0)与x轴交于点A(2,m), B(4,m),则对称轴是_ A 直线x=3 B 直线x=4 C直线x= -3 D直线x=2,C,A,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,中点公式,探究练习: 1.若a0, b0, c0,你能否画出 y=
14、ax2+bx+c的大致图象呢?,要画出二次函数的大致图象,不但要知道a,b,c的符号,还必须明白b2-4ac的大小,因此第一个图是a0, b0, c0，0的情况；第二、第三分别是.,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,2.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示, a_0, b_ _0, c_0, abc_0 b 2a, 2a-b_0, 2a+b_0 b2-4ac_0 a+b+c_0, a-b+c_0 4a-2b+c_0,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,=,=,练习：,1.二次函数y=a(x+k)2+k(a0)，无论k取什么实数，图象顶点必在（ ）. A.直线y=-x上 B.x轴上 C.直线y=x上 D.y轴上,2.若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x2 4x1有相同的顶点，并且在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则所求的二次函数的解析式为（ ） A.y=-x2+2x-4 B.y=ax2-2ax+a-3(a0) C.y=-x2-4x-5
