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1、,线段和最小问题探究,主要内容 对几条线段求和最小问题、利 用对称性问题进行探究。,Start Here,学 校 成都郫都区第三中学,授课老师 符琬苹,典例展示,中考复习专题教学,同学们： 知道中考时间吗？面对中考，你复习好了吗？对于复习，你是选择把市场上的复习资料都做一遍，还是选择归纳题型，总结方法呢？,中考题展示,1. 两点之间，_ 2.点到直线的距离，_ 3.一般利用_解决线段和最小的问题。,温故知新,课本原型（七年级(下)）,如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短？,A,B,P,A,P,理论依据：两点之间，线段最
2、短 用途：求两条线段和的最小值,应用：求两条线段和的最小值,模型一：（两点同侧）：如图1，点P在直线l上运动，画出一点P使PA+PB取最小值。 模型二：（两点异侧）：如图2，点P在直线l上运动，画出一点P使PA+PB取最小值。,【一、“两定一动”】,例1.如图，在直角坐标系中，点A(3,4)，B(0,2)，点P为x轴上一动点， 求当PA +PB最小时点P的坐标,y,x,B,A,O,P,类型“两点同侧”,在x轴上确定一点P使PA+PB最小，因此先作B（A）关于x轴的对称点B（ A） ，连接AB与x轴的交点即为所求的点P。 由B(0,2)，所以B(0,-2)，因为 A(3,4)，所以易求直线A B
3、：y=2x-2, 所以点P（1，0）,B,变式训练1,如图，MN 是O的直径，MN=2，点A 在O 上，AMN=30，B 为弧AN 的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为,A,B,O,N,M,P,B,2.如图，O的半径为2，点A，B，C在O上，OAOB,AOC=600，P是OB上一动点，PA+PC的最小值为_。,【二、“两动一定”】,例2.如图，在锐角ABC中，AB= ，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，请你求出BM+MN的最小值,N,N,解析：AD是角平分线，所以具有轴对称，先作N与N关于AD对称，所以M N=MN，要使BM+MN最小
4、，即BM+MN=BM+MN最小，所以当B，M， N在一条直线上时最小，此时为BN的长度，而BN最小时即为B N与AC垂直时最小，易求得BM+MN的最小值为4,变式训练,练习1，如图，正方形ABCD的边长为4，CDB的平分线DE交BC于点E，若点P,Q分别是DE和DC上的动点，则PQ+PC的最小值（ ） A.2 B. C.4 D.,A,B,C,D,Q,P,E,【变式训练】,练习2，如图，AOB=45，P是AOB内一点，OP=10，Q、R分别是OB、OA上的动点，求PQR周长的最小值,P1,P2,Q,R,【三、“两动两定”】,例3.如图，直线l1、l2交于O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先
5、到l1上一点P，再从P点到l2上一点Q，再回到B点，求作P、Q两点，使APPQ QB最小。,Q,P,A,B,解析：由前面的知识积累可以得知：先作出点A与 A关于直线l1对称，则PA=P A，然后再作 B与B关于l2对称，则QB=Q B连接AB交l1，l2于点P，Q，则AP+PQ+QB= P A+PQ+Q B，当四点共线时， AP+PQ+QB最小。,A,B,O,l1,l2,【变式训练1】,已知,在平面直角坐标系中，点A（1,3)、B(4,2)，请问在x轴上是否存在点C，在y轴上是否存在点D，使得围成的四边形ADCB周长最短.,x,y,A,O,B,A,D,C,B,如图，EFMN，要在直线MN、EF
6、上各找一点C、D使得CDMN，且使AC+CD+DB的长度和最短,A,B,M,N,E,F,【变式训练2】,如图，EFMN，要在直线MN、EF上各找一点C、D使得CDMN，且使AC+CD+DB的长度和最短,B,C,D,提取数学模型,反思总结+巩固练习,此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，这些问题的设置背景有都有一个共同点，那就是：都有一个“轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出“建奶站问题”的数学模型，再通过找定直线（在那条直线上确定点就作定点关于这条直线的对称点）的对称点，从而将问题转化为上面的类型进行求解，但有时问题是求三角形周长或四
7、边形周长的最小值，一般此类问题中会含有定长的线段，依然可以转化为“建奶站问题”来进行求解。,解决求最短路径问题运用了什么（知识）？,在解决问题的过程中运用了什么（方法）？,这过程中体现了什么样的数学（思想）？,两点之间线段最短,对称、平移,实现转化，体现化归的数学思想,归纳、总结,1、如图1，等边ABC的边长为6，AD是边BC上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上的一点，若AE=2，EM+CM的最小值为_。 2、如图2，菱形ABCD中，BAD=600，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为_.,练习、(2010东营)如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5） （1）求该二次函数的解析式；,（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得ABP的周长最小请求出点P的坐标,B,P,
