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1、北师大版8年级下册第1章第3节线段的垂直平分线（1）教案一、教学目标：1. 能够运用公理和所学过的定理证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.2. 能够利用尺规作已知线段的垂直平分线.3. 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力二、教学过程：创设情境，引入新课师：（课件演示）如图，A、B表示两个仓库，要在一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？生：作线段AB的垂直平分线，码头应建在线段AB的垂直平分线与河岸边的交点上.师：语言非常准确.这节课我们就来研究线段的垂直平分线.（板书课题线段的垂直平分线) 师：刚才这位同学说码头应建在线段AB
2、的垂直平分线与河岸边的交点上,谁能说出这样做的道理吗？生：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.师：非常好，这是我们七年级时学过的一句话。还记得当时我们是怎样得到的吗？生：不记得了.师：那我来帮大家回忆一下。（教师通过演示折纸过程，验证线段垂直平分线的性质）师：七年级时我们用折纸的方法得到了 “线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”.同学们知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理、推论证明它这节课我们一起用所学的公理、定理来证明线段的垂直平分线的性质定理.教师板书：定理 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 、自主探究，感受新知1.线段垂直平分线性质定理
3、的证明师：现在就请同学们自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程.（学生画图，写出已知、求证. 证明方法和过程对于学生来说不是很困难的,可以找程度比较差的同学回答）生：口答已知、求证、证明.师：课件演示.已知：如图，直线MNAB，垂足是C，且ACBC，P是MN上的点求证：PAPB证明：MNAB，PCAPCB90.ACBC，PCPC，PCAPCB(SAS)PAPB(全等三角形的对应边相等)师：若直线MN上还有一点Q，根据线段垂直平分线性质定理，能得出什么结论？生：QAQB.（教师在图形中找出几个不同位置的点P，学生分别说出结论，就是为了让学生熟悉图形，能熟练应用垂直平分线性质定理找出相等的线
4、段）师：从图形中，你还能找出哪些相等的线段、相等的角呢？来源:Z,xx,k.Com生： AB，CPACPB.（挖掘基本图形中其它的等量关系，使学生认识到学习知识不要局限于定理，为以后应用线段垂直平分线的性质定理进行证明、计算打下基础.）2.线段垂直平分线判定定理的证明师：你能写出上面这个定理的逆命题吗?生: 思考.师：这个命题不是“如果那么”的形式，要写出它的逆命题，可以先将原命题写成“如果那么”的形式，逆命题就容易写出谁来分析一下原命题的条件和结论? 生：原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”师：有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来
5、生：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上师：谁能把它描述得更简捷?生：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上师：当我们写出逆命题时，就应想到判断它的真假.如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明，这个命题是真还是假呢？生：真命题.师：要证明这一定理，先要写出已知、求证。谁来说一下？生：已知：线段AB，点P是平面内一点且PAPB求证：P点在AB的垂直平分线上师：请同学们先独立完成证明，再小组交流一下.生思考，交流,然后小组代表展示成果 ：生1：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为CPAPB，PCPC，RtPACRtPBC(HL定理) ACBC
6、，即P点在AB的垂直平分线上生2: 我没有证明RtPAC和RtPBC全等，我是利用“等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”的性质证明的.因为AP=BP，所以PBA是等腰三角形，又因为PC垂直AB，PC是PBA底边上的高，所以PC是AB边上的中线，所以AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上师：比较这两名同学的证法，哪名同学的证明比较简单？来源:Zxxk.Com生（齐答）：第二名同学的证明简单.师：他应用等腰三角形的“三线合一”性质省了一个全等的步骤，我们以后在做证明或计算时，要尽量寻求简单的方法.生3：取AB的中点C，过PC作直线APBP，AC=BC， PCABP点在AB的
7、垂直平分线上生4：过P点作APB的角平分线.APBP，1=2，AC=BC ，PCABP点在线段AB的垂直平分线上（学生用多种方法来证明命题结论的正确性，不同辅肋线的引用，可以培养学生发散思维能力.）师：咱们班同学真是太聪明了,竟想出来这么多解法！从同学们的推理证明过程可知，线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理师：我们已经完成了线段垂直平分线的性质定理和判定定理的证明，请同学们思考一下我们可以用这两个定理来证明什么？生：用这两个定理可以证明线段相等、两条直线互相垂直.3.线段垂直平分线的作法师：我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线，现在我们学习了线段
8、垂直平分线的性质定理和判定定理，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢?课件演示：用尺规作线段的垂直平分线师：下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据来源:学科网ZXXK师生共作：已知：线段AB(如图)求作：线段AB的垂直平分线作法：（1）分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为 半径作弧，两弧相交于点C和D（2）作直线CD直线CD就是线段AB的垂直平分线（尺规作图的步骤是：已知、求作、作法、证明四个步骤，作图后要说明作图的理由，不仅是培养学生的严谨的学习态度，而且让学生明白几何每一步都要有理有据.学生说明理由也是为了灵活应用定理.）师：根据上面作法中的步骤，你能说明C
9、D为什么是AB的垂直平分线吗? 请与同伴进行交流来源:Zxxk.Com生：从作法的第一步可知，ACBC，ADBDC、D都在AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)CD就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)师：说的非常好，看来同学们已经学会灵活运用这节课所学的两个定理了.师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法后，我们知道，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也可以用这种方法作线段的中点用这种方法，你能把一条线段AB四等分吗？生：先作线段AB的垂直平分线，找到中点C，再作线段AC、BC的垂直平分线，找到四等分点.师：说的非常好，真所谓举一反三
10、，触类旁通.三、应用新知，合作竞学1如图，已知AB是线段CD的垂直平分线， E是AB上的一点，如果EC7 cm，那么ED cm，如果ECD60，那么EDC . （学生口述答案，并说出推理过程.让学生能从图形中应用线段垂直平分线性质定理容易找出相等的线段、角）2已知直线l和l上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P（学生口述已知、求作，并说出作图过程.注意作图语言的规范性）已知：直线l和l上一点P求作：PCl来源:学科网ZXXK作法：l.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，直线L相交于点A和B来源:学#科#网Z#X#X#K2作线段AB的垂直平分线PC直线PC就是所求的垂线四、课堂小结，回归系统师
11、：通过本节课的学习，你有哪些感悟与收获？生1：本节课我学会了证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理生2：我们可以用线段的垂直平分线的性质定理和判定定理求解一些数学题. 生3：我学会了用尺规作线段的垂直平分线生4：从本节课练习题及变式题中，我们总结了一些有关线段和周长的等量关系.五、达标检测，矫正评价达标检测：4. 1.如上图，在RtABC中，C=90,B=15,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=_，AEC=_，AC=_ .来源:学+科+网2.已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在_上.3.如图，DE为ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，
12、 AC = 5，BC = 8，求AEC的周长.4.在ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AC于D，ABC和DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB、BC的长.六、布置作业，落实目标课本40页 2题，185页 4题.七、 板书设计 来源:学科网1.3线段的垂直平分线（1）一、性质定理 定理的证明符号表示巩固练习：课本29页3题二、判定定理 定理的证明方法1： 方法2：符号表示3、 尺规作图：作已知线段的垂直平分线巩固练习：课本29页第4题达标检测八、 教学反思 在这一节中，所介绍的定理实际是在七年级曾经探索过的命题，如线段垂直平分线的性质定理，作为探索活动的自然延续和必要发展，我们作
13、为老师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学思想方法的强化和渗透对于线段垂直平分线的判定定理是线段垂直平分线性质定理的逆定理，判定定理的叙述是本节课的难点，为了突破这个难点，先分析定理的条件和结论，然后改写成如果那么的形式，最后将条件和结论互换，一步步按逆命题改写方式完成.师生互动将逆定理完成，突破了本节课的难点.来源:学科网ZXXK本节课课堂容量大，学生在许多图形不断变换中体会到线段垂直平分线两个定理如何应用及应用时所引的辅助线，同时也认识到运用这两个定理可以找到线段相等、角相等。不足之处：从证明线段垂直平分线的判定定理中看出学生对于等腰三角形三线合一的性质应用不灵活，总是想用全等的方法去证明.本节课设置的有些题目只有中等偏上的学生能很快反应，而少数学生没有全部完成教学任务，学困生的学习问题还有待解决.
