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1、函数与几何综合压轴题集合1.（2004安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)(1) 求证：E点在y轴上；(2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.C（1，-3）（2，-6）BDOxEy(3) 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k0)个单位，此时AD与BC相交于E点，如图，求AEC的面积S关于k的函数解析式.图 解 （1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E作EOx轴，垂足OABEODC又DO+BO=DB AB=6，DC=3，EO=2又，DO=DO，即O与O重合，E在y
2、轴上图C（1+k，-3）A（2，-6）BDOxEy方法二：由D（1，0），A（-2，-6）得DA直线方程：y=2x-2再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2 联立得E点坐标（0，-2），即E点在y轴上（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a0)过A（-2，-6），C（1，-3）E（0，-2）三点，得方程组解得a=-1,b=0,c=-2抛物线方程y=-x2-2（3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E作EFx轴垂足为F。同（1）可得： 得：EF=2方法一：又EFAB，SAEC= SADC- SEDC=DB=3+kS=3+
3、k为所求函数解析式方法二： BADC，SBCA=SBDASAEC= SBDES=3+k为所求函数解析式.证法三：SDECSAEC=DEAE=DCAB=12同理：SDECSDEB=12,又SDECSABE=DC2AB2=14S=3+k为所求函数解析式.2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为的圆与y轴交于A、D两点.（1）求点A的坐标； （2）设过点A的直线yxb与x轴交于点B.探究：直线AB是否M的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC，记ABC的外接圆面积为S1、M面积为S2，若，抛物线yax2bxc经过B、M两点，且它的顶点到轴的距离为
4、.求这条抛物线的解析式. 解（1）解：由已知AM，OM1， 在RtAOM中，AO，点A的坐标为A（0，1）（2）证：直线yxb过点A（0，1）10b即b1yx1 令y0则x1 B（1，0），AB在ABM中，AB，AM，BM2 ABM是直角三角形，BAM90 直线AB是M的切线（3）解法一：由得BAC90，AB，AC2， BC BAC90ABC的外接圆的直径为BC，ABCDxMy 而，设经过点B（1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：ya（1）（x1），（a0）即yax2a，a5，a5抛物线的解析式为y5x25或y5x25 解法二：（接上） 求得h5 由已知所求抛物线经过点B（1，0）、M（
5、1、0），则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，5）抛物线的解析式为ya（x0）25又B（1,0）、M（1,0）在抛物线上，a50， a5抛物线的解析式为 y5x25或y5x25 解法三：（接上）求得h5因为抛物线的方程为yax2bxc（a0）由已知得抛物线的解析式为 y5x25或y5x25. ABCOxyP（1，1）3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线过点A、B，且顶点C在P上.(1)求P上劣弧的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐
6、标；若不存在，请说明理由.解 （1）如图，连结PB，过P作PMx轴，垂足为M.在RtPMB中，PB=2,PM=1, MPB60，APB120 的长 （2）在RtPMB中，PB=2,PM=1,则MBMA.又OM=1，A（1，0），B（1，0），ABCOxyP（1，1）M由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，则C(1，3). 点A、B、C在抛物线上，则解之得 抛物线解析式为 （3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PCOD.又PCy轴，点D在y轴上，OD2，即D（0，2）. 又点D（0，2）在抛物线上，故存在点D（0，2），使线段OC与PD互相平分. 4.（2
7、004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，RtABC的直角顶点C（0，）在轴的正半轴上，A、B是轴上是两点，且OAOB31，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.AyxBEFO1QOO2C（3）在AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MNAB交OC于点N.试问：在轴上是否存在点P，使得PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)在RtABC中，OCAB，AOCCOB.OC2OAOB.OAOB3
8、1,C(0,),OB1.OA3.A(-3,0),B(1,0).设抛物线的解析式为则解之，得经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：(2)EF与O1、O2都相切.证明：连结O1E、OE、OF.ECFAEOBFO90,四边形EOFC为矩形.QEQO.12.34,2+490， EF与O1相切.同理：EF理O2相切.(3)作MPOA于P，设MNa,由题意可得MPMNa. MNOA, CMNCAO.BAEFO1QOO2yx2134NMPC 解之，得此时，四边形OPMN是正方形.考虑到四边形PMNO此时为正方形，点P在原点时仍可满足PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.故轴上存在点P使得PMN是一个以M
9、N为一直角边的等腰直角三角形且或5.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(，)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的个动点，点D在y轴，抛物线yax2+bx+1以P为顶点(1)说明点A、C、E在一条条直线上；(2)能否判断抛物线yax2+bx+1的开口方向?请说明理由；(3)设抛物线yax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，GAO与FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围XOPDCABY(本题图形仅供分析参考用)解 （1）由题意，A(0，1)、C
10、(4，3)确定的解析式为：y=x+1.将点E的坐标E(，)代入y=x+1中，左边=，右边=+1=，左边=右边，点E在直线y=x+1上，即点A、C、E在一条直线上.（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，故，这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为，且P在矩形ABCD内部，13，由11得0，a0，抛物线的开口向下. （3）连接GA、FA，SGAOSFAO=3 GOAOFOAO=3 OA=1，GOFO=6. 设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0
11、的两个根，且x1x2，又a0，x1x2=0，x10x2，GO= x2，FO= x1，x2（x1）=6，即x2+x1=6，x2+x1= =6，b= 6a, 抛物线解析式为：y=ax26ax+1, 其顶点P的坐标为（3，19a）, 顶点P在矩形ABCD内部， 由方程组y=ax26ax+1y=x+1得：ax2（6a+）x=0119a3, a0. XGFOPDECABYx=0或x=6+.当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，则有：06+，解得：a 综合得：a b= 6a，b0xy6.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，A过点B且与x轴分别相
12、交于点O、C，A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为31，直线l与A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动.（1）求A的半径；（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；（3）过l上一点P的直线与A交于C、E两点，且PCCE，求点E的坐标；（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求PEC的面积关于m的函数解析式.解 (1)由弧长之比为31，可得BAO90 再由ABAOr，且OB2，得r(2)A的切线l过原点，可设l为ykx任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45可得：bkb或bkb，得k1或k1，直线l的解析式为yx或yx 又由r，易得C(2，0)或C(2，0) 由此可设抛物线解析式为yax(x2)或yax(x2)再把顶点坐标代入l的解析式中得a1抛物线为yx22x或yx22x6分(3)当l的解析式为yx时，由P在l上，可设P(m，m)(m0)过P作PPx轴于P，OP|m|，PP|m|，OP2m2，又由切割线定理可得：OP2PCPE,且PCCE，得PCPEmPP7分C与P为同一点，即PEx轴于C，m2，E(2，2)8分同理，当l的解析式为yx时，m2，E(2，2) (4)若C(2，0)，此时l为yx，P与点O、点C不重合，m0且m2，当m0时，FC2(2m)，高为|yp|即为m，S同理当0m2时，Sm22m；当m2时，S
