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1、1.5三角函数的应用狮城中学 杨圣松教学目标（一） 知识目标1. 经历测量县塔的高度、探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2. 能够把实际问题转化为数学问题，能够借助所给的数值进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.（二） 能力目标能够把实际问题抽象成数学问题，提高学生的数学应用意识和解决问题的能力.（三） 情感目标1. 在弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气.2. 选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的兴趣.教学重点1.经历测量县塔的高度、探索船是否有触礁危险的过程，进
2、一步体会三角函数在解决问题中的作用.2.提高学生数学应用意识和解决问题的能力.教学难点根据题意，了解有关术语、准确地画出示意图, 将实际问题转化为数学问题.教学方法探索发现法教学过程（一） 创设情境，激发兴趣【师】直角三角形就象一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界，我们在欣赏了它神秘的“勾股”，知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解，它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如：测旗杆的高度、树的高度、塔高等.D【师】我们来研究一个问题，测量周宁县塔的高度现在你们来看老师是怎样测的，并根据老师得到的数据帮我求出塔
3、的高度.多媒体演示想一想你会更聪明：如图，老师想测量县塔CD的高度，我在A处仰塔顶，测得仰角为300，再往塔的方CBA向前进20m至B处，测得仰角为450，那么该塔有多高？（老师的身高忽略不计，结果精确到1m）【师】我想请一位同学告诉我什么是仰角？在这个图中，300仰角、450的仰角分别指哪两个角？【生】当从低处观测高处的目标时，视线与水平所成的锐角称为仰角，300的仰角指DAC, 450的仰角指DBC.【师】很好！请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答.（教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导）【生】首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形RtADC和RtBDC的公共边
4、，在RtADC中，tan300,即BC,在RtBDC中，tan450D即BC,又ABACBC20m,得20解得CD27(m)即塔CD的高度约为27m.CBA【生】我有一个问题，老师在测角时，老师本身有一个高度，因此在测量CD的高度时应考虑老师的身高.CBA【师】这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时，的确应该考虑老师的身高，更准确一点应考虑老师在测量时，眼睛离地面的距离.如果设老师测量时，眼睛离地面的距离为1.6m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？【生】示意图如右图所示，由前面的解答过程可知CD43m，则CD27+1.6=28.6m.即考虑老师的高度，塔
5、的高度为28.6m.下面我们再来看一个问题（多媒体演示）：海中有一个小岛，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在岛南偏西55的处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25的处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流.下面就请同学们用锐角三角函数知识解决问题.（板书：船有触礁的危险吗？）（二）指导尝试，自主探究【师】我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的？【生】应该是“上北下南，左西右东”.【师】请同学们根据题意在练习本上画示意图，然后说明你是怎样画出来的，【生】首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南
6、偏西55的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25处，示意图如下： A【师】货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？【生】根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮东继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，A则无触礁的危险.如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作ADBC，D为垂足，DCB即AD的长度.我们需根据题意，算出AD的长度，然后与10海里比较.【师】这位学生分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求，根据题意，有哪些已知条件呢？【生】已知BC=20海里，BAC55，CAD=25【师】在示意图中，有两个
7、直角三角形RtABD和RtACD，你能在哪个三角形中示求出AD呢？【生】在RtACD中，只知道CAD=25，不能求出AD.【生】在RtABD中知道BAD550，虽然知道BC20海里，但它不是RtABD的边，也不能求出AD.【师】那该如何是好？是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑？【生】我发现了这两个三角形有联系，AD是它们公共直角边，而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC=BD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系.【师】有何联系呢？【生】在RtABD中，tan550，BDADtan550，在RtACD中，tan250，CDADtan250.【生】利
8、用BCBD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan550ADtan250=20.【师】太棒了！没想到方程在这个地方帮了我们的忙，其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.【师生共析】解：过A作BC的垂线，交BC于点D，得到RtABD和RtACD,从而BD=AD tan550,CD=AD tan250 ,由BD-CD=BC,又BC=20海里，得ADtan550ADtan250=20 AD(tan550tan250)=20AD20.79海里这样AD20.79海里10海里，所以货轮没有触礁的危险.(三)变式训练，形成能力【师】同学们
9、的表现太棒了，现在我手里有一个楼梯改造问题，想请同学们帮忙解决一下.多媒体演示：某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由400减至350，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.001）请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题.（先独立完成同，然后相互交流，讨论各自的想法）A【生】在这个问题中，要注意调整前后的楼梯高度是一个不变量，根据题意可画出示意图（如右图），其中AB表示楼梯的高度，AC是原楼梯的长，BC是原楼梯的占地长度，DB是调整后楼梯的占地长度.ACB是原DB楼梯的倾角，ADB是调整后楼梯的倾角，转化为数C学问题即为：如图
10、，ABDB,ACB400，ADB350，AC4m，求ADAC及DC的长度.【师】这位同学把这个楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式，我相信同学们一定能用计算器很快地解决它，开始吧！【生】解：由条件可知，在RtABC中，sin400=,即AB4sin400m.原楼梯占地长BC4cos400.调整后，在RTABD中，sin350=则AD,楼梯占地长DBm调整后楼梯加长ADAC40.49(m).楼梯比原来多占DCDBBC4cos4000.61(m)(四)反馈矫正，拓展思维（2016中考,9分）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰
11、角为370，旗杆底部B的俯角为450，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin3700.60，con3700.80，tan3700.75）解：过点C作CDAB于D，则DB=9， 1分 在RtCBD中，BCD=450，CD=BD=9 3分在RtACD,ACD=370,AD=CDtan37090.75=6.75 6分AB=AD+BD6.75+9=15.75, 7分（15.75-2.25）45=0.3（米/秒）答：国旗以0.3米/秒的速度匀速上升。 9分(5) 课堂小结(6) 课后作
12、业习题1.6第1，2，3题.选做题：如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物质由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必需立即卸货，此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A处向北偏西600方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均受影响.（1） 问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由.北（2） 为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？DC（供选用数据：1.4 1.7）提示：这是一道需借肋三角知识的应用题，需抓住E600问题的本质特征，在转化、抽象成数学问题上下功夫解：（1）过点B作BDAC，垂足为D，BA依题意，得BAC300，在R
13、tABD中，BDAB2016160200,B处会受到台风影响.以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE120，AD160AEADDE1601203.8（小时）因此，该船应在3.8小时内卸完货物.附：板书设计1.5三角函数的应用一 船有触礁有危险吗1 复习方位角，根据题意，画出示意图，将实际问题转化为数学问题.2 用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题.3 解释最后的结果.二 测量塔高三 改造楼梯教学反思： 在具体教学过程中，要培养学生的注意力，更要注意兴趣的培养。我将尽我可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，而我将尽我最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步。只有这样，才能真正提高课堂教学效率，提高成绩。
