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1、圆的对称性（教学设计）邱陆群一、教学目标1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程。2.理解圆的中心对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系。3.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。重难点：【重点】理解并掌握圆的对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系。【难点】应用圆心角、弧、弦之间的相等关系定理解决有关问题。课前准备：【教师准备】多媒体课件和教学圆规。【学生准备】1.复习圆心角、弧、弦等概念以及旋转的有关知识。2.圆规和自制圆形纸片。二、教学过程导入新课一:同学们,通过上节课的学习我们对圆已经有了初步的认识,圆与我们的生活有着密切的联系。请欣赏下面一些生活中美丽的图案,让我们一起走进圆的美丽世界。课
2、件出示:【引入】因为有圆,万物才显得富有生机, 我们的生活才会如此的美好!这些图案蕴含着一种对称美,你知道圆是什么样的对称图形吗?设计意图从美丽和谐的图案出发,发现圆的对称美的同时,开门见山引入新课,具有明显对比的图片非常容易激发学生的兴趣和引起学生的共鸣,提高学生的学习兴趣,同时也让学生体会到数学来源于生活,增强学好本节课的信心。导入新课二:我们已经学习了几何图形的对称性,圆是什么对称图形?请说明理由。设计意图通过问题的形式,直入正题,让学生对本节课的探究内容一目了然。引导过度：我们已经了解了一些几何图形的对称性,既有轴对称图形,也有中心对称图形,那么圆是什么对称图形呢?（一）、圆的对称性课
3、件出示:如图所示,圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?思路一猜想【学生活动】学生凭借经验猜想:圆是轴对称图形,有无数条对称轴的结论。教师引导学生思考:圆的对称轴是直径还是直径所在的直线?【教师点评】圆是轴对称图形,有无数条对称轴,对称轴是直径所在的直线。思路二折纸【学生活动】学生交流后,想到可以利用折叠的方法,解决上述问题。学生利用自制的圆形纸片边动手实验,边思考把一个圆对折以后,圆的两部分重合,折痕是一条过圆心的直线,由于过圆心可以作无数条直线,这样便可知圆有无数条对称轴。师出示折叠示意图:【学生活动】学生观察分析这些对称轴的特点,发现它们都经过圆心。【教师点评
4、】圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。引导过渡：通过上面的实验,我们探索了圆的轴对称性,下面我们继续通过实验探索圆是不是中心对称图形。课件继续出示:【想一想】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,还能与原来的图形重合吗?【学生活动】学生利用准备好的圆,同伴合作,共同操作完成,交流得出结论。【师生小结】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合。【教师点评】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合的性质就是圆的旋转不变性;而圆的中心对称性是其旋转不变性的一个特例。圆是中心对称图形,对称中心为圆心。设计意图问题可以激发学生学习数学的兴趣,而兴趣又是最好的老师
5、。通过设计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣,在动手操作中既复习圆的意义,又探索出圆的对称性。（二）、圆心角、弧、弦之间相等关系定理过渡语通过上面的探究,我们得到了圆的旋转不变性,下面我们继续实验,看看圆还有哪些性质定理。课件出示:【做一做】在等圆O 和O中,分别作相等的圆心角AOB和AOB(如图所示),将两圆重叠、并固定圆心,然后将其中一个圆旋转一个角度,使得OA与OA重合,你能发现哪些等量关系?说一说你的理由。【活动方式】分小组进行实验操作,小组之间交流。【师生活动】教师巡视、指导学生,等学生完成后,请各小组组长汇总,展示结果,教师板书。思路一旋转能使AOB和AOB完全重合,从而
6、可以得到OA=OB=OA=OB,OAB=OBA=OAB=OBA,AB=AB,AB=AB,是通过证明AOBAOB得到的。思路二由两圆旋转可知:点A与点A重合,点B与点B重合, 所以AB=AB,AB=AB(叠合法).【学生小结】在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.【问题】你能对圆心角、弧、弦之间的相等关系进行证明吗?【学生活动】学生先独立解答,然后互相讨论交流.代表展示:证明:半径OA与OA重合,AOB=AOB,半径OB与OB重合.点A与点A重合,点B与点B重合,AB与AB重合,弦AB与弦AB重合AB=AB,AB=AB【议一议】上面的结论,在同圆中成立吗?【学生活动】学生思考、猜想后
7、得出肯定的结论。【教师点评】圆心角、弧、弦之间相等关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。引导过渡： 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,会得出什么样的结论?课件出示:【想一想】(1)在同圆或等圆中,如果两个圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗? (2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,你能得出什么结论?【学生活动】学生思考、猜想后得出结论,然后互相交流、讨论,统一想法。【教师活动】要求学生说明得出的结论的理由。(证明AOBAOB或叠合法)【师生总结】在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它
8、们所对应的其余各组量都分别相等。【教师强调】注意事项:(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件。(2)此定理中的“弧”一般指劣弧。(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义,否则易错用此关系。设计意图“学起于思,思起于疑,无疑则无知”,所以通过让学生提出疑难,再解决疑难的方式来理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理的含义,从而引发出圆心角、弧、弦之间相等关系定理的逆定理。引导过渡：通过上面的探究过程,我们掌握了圆心角、弧、弦之间的关系,你能运用这些知识解决下面的问题吗?课件出示:例题：如图所示,AB,DE是O 的直径,C是O上的一点,且AD=CE.BE与CE的大小有什
9、么关系?为什么?解析通过观察可以猜想BE=CE.因为BE与CE都是O的弦,要证明弦相等,可证明弦所对的弧相等,因为AD=BE,又AD=CE,继而可得BE=CE。解:BE=CE.理由是:AOD=BOE,AD=BE.又AD=CE,BE=CE.BE=CE。【议一议】在得出本节结论的过程中,你用到了哪些方法?与同伴进行交流。【学生活动】学生思考后进行交流,得出本节课采用的方法:折叠、轴对称、旋转、推理证明等。设计意图本环节主要是通过例题透析,训练学生的知识综合应用能力,使其在巩固应用的基础上,拓展知识面,培养他们的概括、推理能力。三、课堂小结1.圆的对称性:轴对称图形和中心对称图形。2.圆心角、弧、弦
10、之间的关系:在同圆或等圆中,圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等。四、课堂检测1.下列命题中,正确的是()A.圆只有一条对称轴B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴D.圆有无数条对称轴,每条直径所在的直线都是它的对称轴解析:圆有无数条对称轴,每条对称轴都是直径所在的直线。故选D.2.若圆的一条弦把圆分成度数比为13的两条弧,则优弧所对的圆心角为()A.45B.90C.135D.270解析:如图所示,圆的一条弦把圆分成度数比为13的两条弧,AOB大角AOB=13,大角AOB=360 =270。故选D.3.如图
11、所示,已知AB是O的直径,BC=CD=DE,BOC=40,那么AOE等于()A.40B.60C.80D.120解析:BC=CD=DE,BOC=40,BOE=3BOC=120,AOE=180-BOE=60。故选B。(第4题图)4.如图所示,直尺ABCD的一边与量角器的零刻度线重合,若从量角器的中心O引射线OF经过刻度120,交AD于点E,则DEF=。解析:由已知量角器的一条刻度线OF的读数为120,即BOF=120,得COF=180-BOF=60,ADBC,DEF=COF=60。故填60。五、 板书设计2圆的对称性1.圆的对称性。(1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。(2)圆是中
12、心对称图形,对称中心为圆心。2.圆心角、弧、弦之间相等关系定理。(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。六、布置作业【必做题】1.教材第72页随堂练习第1,2,3题。2.教材第72页习题3.2第1,2题。【选做题】教材第73页习题3.2第3题。七、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在O中,B=37,则劣弧AB 的度数为()A.106B.126C.74D.532.如图所示,在O中,AB=AC,A=30,则B等于()A.150B.75C.60D.153.如图所示,ABD=
13、BDC,若AB=3,则CD=。4.如图所示,AB是O的直径,点C在O上,AOC=40,D是弧BC的中点,则ACD=。【能力提升】5.如图所示,AB是O的直径,四边形ABCD内接于O,若BC=CD=DA=4 cm,则O的周长为()A.5 cmB.6 cmC.9 cmD.8 cm6.(2014菏泽中考)如图所示,在ABC中,C=90,A=35,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则BD的度数为 。7.如图所示,AC=CB, D,E分别是半径OA和OB的中点,CD与CE的大小有什么关系?为什么?【拓展探究】8.如图所示,AB是O的直径,点C,D在圆上,且CD=BD。若AOD=11
14、0,求AC的度数。【答案与解析】1.A(解析:连接OA,OA=OB,B=37,A=B=37,O=180-2B=106。)2.B(解析:在O中,AB=AC,AB=AC,ABC是等腰三角形,B=C.又A=30,B=180-302=75。故选B.)3.3 (解析:ABD=BDC,ABD-BD=BDC-BD,即AB=CD,CD=AB=3.)4.125(解析:连接OD,AB是O的直径,AOC=40,BOC=140,ACO=70,D是弧BC的中点,COD=70,OCD=55,ACD=ACO+OCD=70+55=125。)5.D (解析:如图所示,连接OD,OC.AB是O的直径,四边形ABCD内接于O,BC=CD=DA=4 cm,AD=CD=BC,AOD=DOC=BOC=60。又OA=OD,AOD是等边三角形,OA=AD=4 cm,O的周长=24=8(cm)。故选D.)6.70
