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1、27.1圆的认识(4)珙县巡场中学校 李 立知识技能目标1.理解圆周角的概念和特征，掌握圆周角的性质； 2.通过实践操作，理解并掌握同弧上的圆周角和圆心角的关系；3.利用圆周角的性质解答有关几何问题过程性目标1. 体会同弧所对圆周角、圆心角、弧的度数三者之间的转化；2. 由直径和90圆周角的关系，体会构造90圆周角是解圆的有关问题时常用的方法情感态度目标1. 通过圆的对称性研究圆周角和圆心角的度数关系，感受分类讨论及由特殊到一般研究几何图形性质的思想方法； 2.创设具体生动的教学情境,体验数学是充满探索性和创造性的重点和难点重点：认识圆周角，同一条弧的圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特
2、征;难点：发现同一条弧的圆周角和圆心角的关系，利用这个关系进一步得到其他知识，运用所得到的知识解决问题教学过程一、创设情境通过对前面知识的学习，我们已知道了顶点在圆心的角叫圆心角，那么，我们猜想是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢？请同学们根据这个要求画出一些顶点在圆周上的角上述这些角都不是圆周角，圆周角既要满足角的顶点在圆周上，还应满足角的两边都和圆相交像上面图(2)中的两条线段所成的角叫圆周角(circumference angle)而(1)、(3)、(4)中两条线段所成的角都不是圆周角我们都知道，任何一条弦对着两条弧，优弧和劣弧（直径对着两个半圆），下图中，线段AB是O的直径，点C是O上任意
3、一点（除A、B），则ACB就是直径AB所对的圆周角想想看，ACB会是怎样的角呢？二、探究归纳上图中，OAOBOC，所以AOC、BOC都是等腰三角形，因而OACOCA，OBCOCB又OAC+OBC+ACB180，所以因此不管点C在O上何处（除点A、B），ACB总等于90，即半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）用几何语言叙述为：因为AB是直径，所以ACB90实际上，还有90的圆周角所对的弦是直径因为ACB90，所以AB是直径下面我们动手做一做，通过实践，讨论对于一般的圆周角，又有什么规律呢？如图，ACB、ADB都是弧AB所对的圆周角，AOB是弧AB所对的圆心角那么这几个角间有什么关系呢
4、？(1)每位同学分别用量角器量出弧AB所对的圆周角ACB和ADB的度数，变动点C的位置后再量出AB弧所对圆周角的度数，看看圆周角的度数有没有变化，和其他同学交流一下你的发现(2)分别用量角器量出弧AB所对的圆心角AOB的度数，并和上面的圆周角ACB和ADB的度数比较，发现了什么规律？把你的发现和同学交流一下，是不是有相同的结果我们发现，(1)中圆周角的度数没有变化，即保持不变并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半由上面的操作我们可以这样猜想：在同一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半 下面我们一起来操作并验证这个猜想，由于圆是一个轴对称图形，可将圆对
5、折，并使折痕经过圆心和圆周角的顶点C，在对折过程中从同学的操作中发现了下列三种情形：(1)折痕恰好是圆周角的一条边，(2)折痕在圆周角的内部，(3)折痕在圆周角的外部第一种情况：如图(1)，由于OAOC， 因此AC，而AOB是AOC的外角，所以，第二种情况：如图(2)，连结CO并延长交O于D由第一种情况可知，第三种情况由同学自己完成 由此，可以得出：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 下面请同学思考这样一个问题，对于两个相等的圆，有相同的结论吗？回答是肯定的在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等练习：请找出图中所有相等的圆周
6、角想一想：这是一个圆形零件，你能告诉我，它的圆心位置吗？你有什么简捷的办法？三、实践应用例1 如图，AB是O的直径，A80求ABC的度数解 因为AB是O的直径，而直径所对的圆周角是直角，所以ABC180AACB180809010例2 如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径试说明：ABACAEAD分析 可连结BE，利用同弧所对的圆周角相等可得CE，直径所对的圆周角是直角得到ABE90，从而可得ADCABE，再利用相似三角形的对应边成比例，从而得到结果解 连结BE因为AE是ABC的外接圆直径，所以ABE90，又因为AD是ABC的高，所以ADC90，即ABEADC90，而 ，所以CE，所以
7、ADCABE，所以即ABACAEAD例3 如图，在O中，弦BCOA，AC与OB相交于点D，ADB75，试求C的度数分析 由同弧上的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半可知，又BCOA，可知，CA，而ADB又是AOD的外角即可解得解 由同弧上的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半可知，又因为BCOA，所以CA，而ADBA+AOB，即ADB3A，又ADB75，所以A25，即C25例4 如图，ABC是圆的内接三角形，BEAC于E，交圆于F，ADBC于D，交圆于G，交BE于M，试说明：(1)AMCDACME；(2)BC垂直平分MG；(3)CFCGCM分析 根据相似三角形的性质和“在同圆或等圆中，圆周角相等，那
8、么它所对的弧就相等，所对的弦相等”解此题解 连结BG(1)因为BEAC，ADBC，所以AEMADC90，又因为33，所以AMEACD，所以，所以AMCDACME(2)因为BEAC，ADBC，所以AEMADB90，又AMEBMD，所以13，又23，所以12，故BMG为等腰三角形，所以BC垂直平分MG(3)由(2)得BC垂直平分MG，所以CGCM，又12，所以，故CFCG，所以CFCGCM四、交流反思本堂课我们学习了圆周角以及它的性质，下面请谈谈你的收获1.顶点在圆周上，且角的两边与圆相交的角叫圆周角2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角），90的圆周角所对的弦是直径3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等 特别应注意的是：在圆中一条弦所对的圆周角的度数有两个，它们相等或互补右图中，弦AC所对的圆周角ADC和ABC互为补角五、检测反馈1.在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)和(5x30)，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数2.如图，AB、AC、BC都是O的弦，且CABCBA，COB与COA相等吗？为什么？3.如图，O 的直径AB垂直于弦CD，AB、CD相交于点E，COD100，求COE、DOE的度数4.A是O的圆周角，A40，求OBC的度数
