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1、猜想 、证明与拓广教学设计西街初中 柴晓娟教学目标： 经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验. 在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识. 在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性.学习重点难点1.重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.2.难点:处理问题的策略和方法.课时引入：世界三大几何难题：化圆为方 ，三等分任意角，倍立方这些问题困扰数学家一千多年都不得其解,而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解
2、决的. 1637年笛卡儿创建解析几何以后,许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了的超越性（即不为任何整数系数多次式的根）,化圆为方的不可能性也得以确立 .教学过程：探究活动1：正方形的“倍增”问题问题(1)：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？教学策略：提出问题后引导学生思考，学生会出现的三种解决问题的思路：1、先有具体情况入手研究，得到一个猜想，然后再拓展到一般情况进行证明。2、因为问题比较简单，有学生可能直接
3、进行一般情况的证明。3、由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 所以周长比和面积比不可能同时为2. 因此这样的正方形不存在. 这三种解决问题的方法都应该给与肯定和表扬。证明方法：解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,周长扩大两倍后为8a,则其边长应为 2a,此时面积应为 4a2，它不是已知给定的正方形的面积的2倍.所以不存在这样的正方形。或是先考虑面积扩大为原来的两倍为2a2 ，则边长应为，此时周长应为4，不是4a的两倍，无论从哪个角度考虑，都不存在这样的正方形。得出结论：不存在这样的正方形，它的周长与面积分别是已知正方形的2倍。拓展1.刚
4、才研究的是正方形的“倍增”问题，我们学过的其他图形是否也有这样的性质呢？你能大胆的拓展一下吗？拓展2.刚才研究的是正方形的“倍增”问题，除了“倍增”问题，你还能提出哪些问题？探究活动2：矩形的“倍增”问题问题（2）任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?教学策略：由问题一的研究学生能够顺理成章的从两个角度来进行思考，一个是从特殊到一般的思想，一个是直接对一般情况进行证明的思想，但是较问题（1）直接证明难度较大，所以引导学生先从特殊情况入手，得到一个猜想后，再进行一般情况的证明会更好一些。这样在具体问题的解决过程中，会给学生一些启示，有助于学生一般情况
5、下的证明思路的形成。如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流.总结如下:有三种思路可以选择:先固定所求矩形的周长, 设另一个矩形的长为x，将问题化为方程x(6x)=4是否有解的问题.先固定所求矩形的面积, 设另一个矩形的长为x，将问题转化为方程x+4/x=6是否有解的问题.也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积同时扩大2倍后应分别为12和4,设其长和宽分别为x和y,则得方程组x+y=6 ，xy=4然后讨论它的解是否符合题意.利用一次函数和反比例函数综合解决，画出图像，两函数有交点，说明这样的矩形存在然后引导学生
6、再通过几组特例的研究，结果都发现存在这样的矩形，于是得到一个猜想。从而将探究活动推向第二环节拓展思维，证明猜想。将学生的思维逐渐推向高潮。证明环节1：如果已知矩形的长和宽分别为n和1呢？结论会怎样呢? （分析:如果矩形的长和宽分别为n和1,那么其周长和面积分别为2(1+n)和n,所求矩形的周长和面积应分别为4(1+n)和2n. 从周长是4(1+n)出发,看面积是否是2n）; 解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(1+n)-x,其面积为x2(1+n)-x.根据题意,得 x2(1+n)-x=2n. 即 x2-2(1+n)x+2n=0.解这个方程得:若从面积是2n出发,可得同样的结论.证明环节2
7、：如果已知矩形的长和宽分别为m和n呢？结论会怎样呢? （分析:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为4(m+n)和2mn. 从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn）;解:当已知矩形的长和宽分别为n和m时,那么其周长和面积分别为2(m+n),和mn,所求的矩形周长和面积为4(m+n)和2mn.设所求矩形的长为x,那么宽为 2(m+n)x,根据题意,得x2(m+n)x=2mn.整理得2(m+n)x+2mn=0解得经检验,符合题意,所以存在这样一个矩形。若从面积是2mn出发,可得同样的结论.得到结论：任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。总结反思，方法提炼；（1）本节课的问题解决综合运用了所学知识,体会知识之间的内在联系.（2）本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性.（3）一个几何存在性问题，可以转化为方程是否有解的问题，两种列方程的思路源于优先“固定”所求矩形的周长或优先“固定”所求矩形的面积，同时也让学生感受到对同一个问题存在不同的解决方法，有助于开阔学生的视野.拓广作业任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
