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1、正方形的性质与判定,想一想,你觉得什么样的四边形是正方形呢?,矩 形,正方形,矩形怎样变化后就成了正方形呢?,探究（一）,有一组邻边相等,菱形怎样变化后就成了正方形呢?,正方形,1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是,（填上一个条件即可）,有一个角是直角,探究小结,矩 形,正方形,邻边,相等,发现： 一组邻边相等的矩形 叫正方形,一个角,是直角,正方形,发现： 一个角为直角的菱形叫正方形,正方形定义,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形,拓展讨论,讨论总结:正方形有那些性质?,知识点一：,正方形的性质,观察思考：正方形是中心对称图形吗?,A,C,D,B,A,C,D,B,A,
2、C,D,B,O,对边平行， 四条边都相等,四 个 角 都是直角,对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角,四边形ABCD是正方形 ABCD ADBC, AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是正方形 A=B=C=D=90,四边形ABCD是正方形 ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,轴对称图形 中心对称图形,二、正方形的性质的应用,例1、如图，正方形ABCD中， （1）一条对角线把它分成 个全等的三 角形。,问：这些三角形是什么三角形？,（2）两条对角线把它分成 个全等的 三角形。,2,4,等腰直角,A,B,D,C,O,（3）对角线AC与正方形的一边所成的角为 度。,45,例2
3、、如图，正方形ABCD中，,正方形的面积为64平方厘米，则正方形对角线AC= 。,试一试，相信你很棒！,1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角,C,2.已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的 周长为 ,对角线长为 ,面积为 .,8cm,3.正方形的对角线和它的边所成的角是 度.,45,4.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长 为 ， 面积为 。,5.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意一 点,PEAC,PFBD,E、F为垂足,则PE+PF= 。,5cm,A,B,C,D,F,
4、P,E,O,例,求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.,A,D,C,B,O,已知:如图,四边形ABCD是正方形,对 角线AC、BD相交于点O.,求证:ABO、 BCO、 CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形.,证明: 四边形ABCD是正方形, ACBD, 即AOB=BOC=COD=DOA=90 AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都是等腰直角三角形,并且 ABO BCO CDO DAO(SAS),A,D,C,B,O,正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？,拓展讨论:,结论： 分成八个等腰直角三角形，分别是ABC、 ADC、 AB
5、D、 BCD ； AOB、 BOC、 COD、 DOA.,平行四边形,矩形,菱形,正 方 形,正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间有什么关系？,小结,知识拓展:与同学讨论后填写下表：,几种特殊四边形的性质,对边平行 且相等,对边平行 且相等,对边平行，四边都相等,对边平行， 四条边 都相等,对角相等， 邻角互补,四个角 都是直角,对角相等， 邻角互补,四个角 都是直角,对角线互相平分,对角线相等 且互相平分,对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角,对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角,中心对称图形,轴对称图形、 中心对称图形,轴对称图形、 中心对称图形,轴对称图形、 中心对称
6、图形,知识点二：,正方形的判定,有一组邻边相等,有一个角是直角,有一组邻边相等,有一个角是直角,平行四边形,有一个角是直角,有一组邻边相等,图形之间的变化关系,正方形的判定方法：,2、有一组邻边相等的矩形是正方形,3、有一个角是直角的菱形是正方形,1、一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形,（对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）,判断四边形是正方形有哪些方法？,、先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等,、先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角,、先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，并且一个角是直角。,（对角线平分且垂直又相等的四边形是正方形）,（邻边相等的矩
7、形是正方形）,（有一个角是直角的菱形是正方形）,巩固练习：判断下列命题是否正确，不是正方形的补充什么条件能让它成为正方形？,四个角都相等的四边形是正方形； ( ) 四条边都相等的四边形是正方形； ( ) 对角线相等的菱形是正方形； ( ) 对角线互相垂直的矩形是正方形； ( ) 对角线垂直且相等的四边形是正方形; ( ) 四边相等，有一个角是直角的四边形 是正方形. ( ),已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?,例题教学,证明： 四边形ABCD是正方形 ABC=BCD=90； AB=A
8、D=DC=BC （正方形的四条边都相等，四个角都是直角） 又 AE=BF=CG=DH AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF 即BE=AH=DG=CF AEHBFECGF DHG EH=EF=FG=GH 四边形EFGH是菱形 又 3+2=90且 13 1+2=90 EFG=90 四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的菱形是矩形）,练习.如图，四边形是正方形，、分别是四边的中点。你知道四边形EFGH的形状吗？为什么？,2.已知:如图,ABC中.ABC=90,BD是角平分线,DEAB,DFBC,垂足分别是E、F.,试说明：四边形DEBF是正方形.,解: DFBC,DEAB, DEB= D
9、FB=90,又 ABC=90,四边形DEBF是矩形, BD平分ABC, DFBC , DEAB, DE= DF,四边形DEBF是正方形,如图，在矩形中，四个角的平分线相交于点、，试说明四边形EFGH是正方形。,小结,1、正方形定义,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形,2、正方形有那些性质,对边平行，四条边都相等,四个角都是直角,对角线互相垂直平分且相等， 每条对角线平分一组对角等于45,边：,角：,对角线：,3、正方形有那些判定方法（请各同学根据自己的实际具体分类）,正方形的判定方法：,2、有一组邻边相等的矩形是正方形,3、有一个角是直角的菱形是正方形,1、一组邻边相等且有一
10、个角是直角的平行四边形是正方形,（对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）,正方形常考点练习巩固与提升,例：正方形ABCD中DAF=25,AF交对角线BD于E,交CD于F,求 BEC的度数.,A,B,C,D,E,F,25,30,例3已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线 上一点，CEAF于E，交AD于M， 求证：MFD45,分析： 欲证MFD45，由于 MDF是直角三角形,只须证MDF是等腰三角形,即只要证 _=_,要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等?,CMDADF,练习如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、B
11、D延长BD交AF于H。 求证：(1) ACFDCB (2) BHAF,证明：,如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，那么线段AE和DG有什么大小关系？请说明理由。,1,2,3,例题赏析,在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分BAC,试猜想AB、BE 、AC之间的大小关系，并证明你的猜想,例2如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，,分析：要证明BMCN，,MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，,求证：BMCN。,AB=BC，1=2=45 ,AM=BN,ABMBCN,正方形ABCD,OM=ON,OMNONM45,活动与探索,如图正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、CD上的点，若BE+DF=EF， 求证：EAF=450,变式：如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在BC、CD上，EAF=450，CEF的面积为 ，求AEF的面积。,
